Segno di un trinomio di secondo grado
Studiare il segno di un trinomio di secondo grado nella sola variabile x significa stabilire per quali valori di x il trinomio
ax2 + bx + c
assume un valore di segno positivo, oppure un valore di segno negativo oppure il valore zero. Per lo studio del trinomio bisogna considerare l'equazione associata, che si ottiene uguagliando a zero il trinomio:
ax2 + bx + c = 0
e calcolare il discriminante dell'equazione:
Δ = b2 - 4ac
A questo punto si possono verificare tre casi:
Δ > 0
L'equazione ha due radici reali e distinte x1 e x2 e il trinomio è scomponibile ina(x - x1)(x - x2)
Naturalmente il trinomio ha valore zero per x=x1 e per x=x2
Δ = 0
L'equazione ha due radici reali e coincidenti x1 = x2 e il trinomio è scomponibile ina(x - x1)2
Δ < 0
L'equazione non ha radici reali e il trinomio non è scomponibile in fattori di primo grado
Primo caso: Δ > 0 .
Ad esempio il trinomio:2x2 + x - 6
ha l'equazione associata:
2x2 + x - 6 = 0
e il discriminante maggiore di zero:
pertanto l'equazione ammette due zeri reali e distinti che possiamo determinare mediante la formula risolutiva:
Il trinomio si annulla, quindi, per x = -2 oppure per x = 3/2 ed è scomponibile in fattori lineari:
Studiamo il segno dei singoli fattori.
2 > 0
x + 2 > 0 → x > - 2
x - 3/2 > 0 → x > 3/2e rappresentiamo i risultati con il grafico dei segni:
Come si vede dal grafico il segno del trinomio è positivo per valori esterni all'intervallo delle radici dell'equazione ed è negativo per valori interni all'intervallo delle radici.
In generale:
il segno di un trinomio ax2+bx+c con Δ > 0 e a > 0; è positivo per valori esterni all'intervallo delle radici dell'equazione associata, è negativo per valori interni all'intervallo delle radici, è nullo quando la variabile ha il valore di una delle due radici.
il segno di un trinomio ax2+bx+c con Δ > 0 e a < 0; è positivo per valori interni all'intervallo delle radici dell'equazione associata, è negativo per valori esterni all'intervallo delle radici, è nullo quando la variabile ha il valore di una delle due radici.
Secondo caso: Δ = 0 .
Se il discriminante è uguale a zero (Δ = 0) l'equazione ha due soluzioni reali e coincidenti x1=x2 e il trinomio ax2+bx+c è scomponibile in:ax2 + bx + c = a(x - x1)2
Ora, il fattore (x - x1)2 essendo un quadrato è sempre positivo per x≠x1 e quindi il segno del trinomio dipende esclusivamente dal segno del primo coefficiente a.
In generale:
il segno di un trinomio ax2+bx+c con Δ = 0 e a > 0; è positivo per valori esterni all'intervallo delle radici dell'equazione associata e si annulla quando la variabile ha lo stesso valore delle radici (il segno del trinomio non è mai negativo perchè l'intervallo interno alle radici è nullo).
il segno di un trinomio ax2+bx+c con Δ = 0 e a < 0; è negativo per valori esterni all'intervallo delle radici dell'equazione associata e si annulla quando la variabile ha lo stesso valore delle radici (il segno del trinomio non è mai positivo perchè l'intervallo interno alle radici è nullo).
Terzo caso: Δ < 0 .
Se il discriminante è negativo (Δ < 0) l'equazione non ha soluzioni reali e quindi non possiamo scomporla in fattori di primo grado. Possiamo però esprimere il trinomio in una somma di due addendi mettendo a fattore comune il coefficiente a e poi aggiungendo e togliendo b2/4a2
I due addendi sono entrambi positivi; il primo è positivo perchè è un quadrato, il secondo è positivo perchè il delta è negativo ma avendo il segno negativo davanti diventa positivo.
In questo caso il segno di un trinomio ax2+bx+c con Δ < 0 dipende esclusivamente dal segno del primo coefficiente a:
In generale:
il segno di un trinomio ax2+bx+c con Δ < 0 e a > 0; è sempre positivo per tutti i valori della variabile.
il segno di un trinomio ax2+bx+c con Δ < 0 e a < 0; è sempre negativo per tutti i valori della variabile.
Riassumendo il segno di un trinomio ax2+bx+c si può dedurre considerando il segno del discriminante dell'equazione associata e il segno del suo primo coefficiente in questo modo:
Queste considerazioni sono importanti nello studio delle disequazioni di secondo grado.
