Se indichiamo con n il numero di mezzo dispari e con d la cifra che si ripete quattro volte possiamo scrivere l'equazione:

Tenendo presente che il quadrato di un numero dispari è un numero dispari e la somma di tre numeri dispari è un numero dispari, ne segue che d è una cifra dispari e quindi può essere 1, 3, 5, 7, 9. Svolgendo l'equazione si ottiene:

3n² + 8 = 1111 ⋅ d

Ora, possiamo scrivere questa uguaglianza in una corrispondente uguaglianza modulo 3:

3n² + 8 ≡ 1111 ⋅ d mod 3

Essendo 3n² un multiplo di 3 la congruenza diventa:

8 ≡ 1111 ⋅ d mod 3

Inoltre, 8 è congrua a 2 modulo 3 e 1111 è congruo a 1 modulo 3 pertanto si ha:

2 ≡ d mod 3

che ha tre soluzione: d = 2; d = 5; d = 8. E l'unica soluzione accettabile è d=5 perchè d deve essere una cifra dispari. Sostituendo, nell'equazione d=5 si ottiene:

3n² + 8 = 5555

Cioè:

n² = 1849 → n = 43

Pertanto, i tre numeri dispari sono: 41, 43, 45.

Infatti:

41² + 43² + 45² = 1681 + 1849 + 2025 = 5555