Versiera di Agnesi
Questa curva piana fu accennata da Fermat nel 1659 e studiata da Guido Grandi nel 1703 ma ebbe notorietà nel 1748 quando Maria Gaetana Agnesi (1718-1799), una delle prime donne a distinguersi ufficialmente nel mondo della matematica, la inserí nella sua opera in due volumi: Istituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana. Questo testo fu molto apprezzato ed ebbe il plauso dell'Accademia delle scienze di Parigi per la sua chiarezza didattica. Il nome della curva deriva da un affascinante errore di traduzione che persiste ancora oggi nella letteratura scientifica anglosassone. Il matematico Luigi Guido Grandi aveva battezzato la curva versoria termine latino che indicava la corda utilizzata per orientare la vela delle navi. Maria Gaetana Agnesi scelse di italianizzare il termine in versiera. Nel 1801, il matematico John Colson nel tradurre l'opera di Agnesi in inglese confuse la parola versiera con l'abbreviazione del termine latino adversaria (avversaria di Dio, ovvero strega) e tradusse l'espressione con "Witch of Agnesi" (la strega di Agnesi") e ancora oggi, nel mondo anglosassone, la curva porta questo nome.
La versiera è una curva che può essere generata mediante una costruzione geometrica dinamica partendo da una circonferenza.
Si tracci in un sistema cartesiano la circonferenza di raggio a tangente all'asse x con centro nel punto C(0, a).
Si tracci la tangente alla circonferenza nel punto nel punto A(0, 2a). Questa retta sarà parallela all'asse x e avrà equazione y = 2a.
Si consideri una retta secante passante per l'origine O. Questa retta intersecherà la circonferenza in un punto M e la retta tangente in un punto N.
Da M si tracci una retta parallela all'asse x e da N si tracci una retta parallela all'asse y.
- Il punto di intersezione P(x, y) tra queste due ultime rette è un punto appartenente alla versiera di Agnesi.
Facendo ruotare la retta secante passante per l'origine lungo tutti gli angoli possibili, il punto P descriverà l'andamento continuo e simmetrico della curva.
Partendo dalla costruzione geometrica sopra descritta e applicando i teoremi della trigonometria o la similitudine tra triangoli, si giunge all'equazione cartesiana della curva in forma esplicita. Se indichiamo con d=2a il diametro della circonferenza generatrice, l'equazione รจ:
Se per comodità poniamo il raggio della circonferenza a = 1/2, in modo che il diametro sia unitario (d=1) l'equazione semplificata diventa:
Questa equazione semplificata è utilizzata spesso nei testi di calcolo, Ecco il suo grafico.
Se definiamo θ come l'angolo formato dalla retta secante passante per l'origine con l'asse delle ascisse le equazioni parametriche della versiera (assumendo il diametro della circonferenza pari a 2a) sono:
Con il software GeoGebra possiamo ottenere la versiera di Agnesi con il comando:
Utilizzando lo slider a possiamo aumentare o diminuire il fattore di scala:
Con geoGebra possiamo ottenere in modo dinamico la versiera di Agnisi:
- Si tracci la circonferenza con centro C(0, 1) e raggio 1.
- Si traccila retta tangente alla circonferenza passante per il punto A(0, 2).
- Si attivi uno slider α intervallo 0°-360° con incremento di 1°.
- Sia M un punto sulla circonferenza.
- Si applichi una rotazione al punto M rispetto al punto C(0, 1) con rotazione antioraria e angolo α. Si ottiene cosí il punto M'
- Si tracci la retta passante per l'origine e per il punto M'. Sia N il punto di intersezione tra questa retta e la tangente alla circonferenza.
- Si tracci: la retta passante per M' e parallela all'asse x e la retta passante per N e parallela all'asse y, Sia P il punto di intersezione delle due rette.
- Si attivi la traccia del punto P e l'animazione dello slider α.
Ecco il grafico.
