Trisettrice di Ippia
La trisettrice di Ippia è la traiettoria del punto di intersezione P di due segmenti congruenti AD e DC che si muovono contemporaneamente all'interno del quadrato ABCD. Il segmento AD ruota intorno ad A con velocità costante in verso orario intorno al vertice A fino a sovrapporsi al segmento AB, nello stesso intervallo di tempo il segmento DC trasla parallelamente a se stesso all'ingiù fino a sovrapporsi al segmento AB.
Questa curva fu scoperta dal filosofo, matematico e astronomo greco Ippia di Elide (443-399 a.C.) che la utilizzò per risolvere il problema:
trisecare un angolo qualsiasi utilizzando soltanto una riga e un compasso
Con l'ausilio di questa curva è semplice trisecare un angolo acuto e per questo è chiamata trisettrice di Ippia. Però la curva non è costruibile con riga e compasso e quindi la soluzione non rispetta la condizione: solo riga e compasso. Vediamo come è possibile trisecare un angolo acuto con la trisettrice. Supponiamo voler trisecare l'angolo BAP.
Trisechiamo i segmenti AD' e BC' nei punti E, F, G, H e tracciamo i segmenti EG e FH.
Indichiamo con I l'intersezione tra EG e la trisettrice e con O l'intersezione tra FH e la trisettrice. Le semirette AI e AO trisecano l'angolo BAP.
L'equazione polare della trisettrice è:
dove a è la lunghezza del lato del quadrato, Θ è l'angolo che forma un punto P sulla curva con l'origine e l'asse polare. Per passare dalle coordinate polari alle coordinate cartesiane (x, y) utilizziamo le classiche formule di trasformazione trigonometriche:
x = r cos Θ y = r sin Θ
E sostituendo l'espressione di r otteniamo le equazioni parametriche della trisettrice:
Con il software GeoGebra possiamo ottenere la trisettrice in modo dinamico come luogo dei punti:
- tracciamo il quadrato ABCD di lato 4;
- Inseriamo la slider α intervallo 0, Π/2 con incremento 1°
- tracciamo la retta x=(2*4*α/(Π*tan(α));
- tracciamo la retta y=(2*4*α/(Π);
- tracciamo il punto P di intersezione tra le due rette x e y;
- attiviamo la traccia del punto P e animiamo l'angolo α.
