Spirale logaritmica

La spirale logaritmica è una curva geometrica continua che si avvolge attorno a un punto centrale detto polo allontanandosi indefinitamente. Questa curva differisce dalla spirale di Archimede per una sua particolare proprietà: le distanze fra i bracci aumentano secondo una progressione geometrica.

In altre parole, un punto che si muove lungo una semiretta di origine O, che contemporaneamente ruota intorno a O, descrive spirali diverse a secondo della sua velocità: la traiettoria del punto descriverà la spirale di Archimede se la velocità è uniforme, invece descriverà una spirale logaritmica se la sua velocità è uniformemente accelerata.

La spirale logaritmica fu descritta per la prima volta da Renè Descartes in una lettera inviata a Mersenne il 12 settembre 1638. Descartes la chiamò spirale equiangolare perché l'angolo tra il raggio vettore (distanza di un punto della spirale dal polo) e la tangente alla curva è sempre costante.

Successivamente la spirale logaritmica fu studiata anche da Jackob Bernoulli (1654-1705) che la chiamò spirale meravigliosa perchè osservò che questa curva ha una singolare proprietà: quando si allontana o si avvicina all'origine le sue dimensioni aumentano o diminuiscono ma essa è sempre somigliante a se stessa. In altre parole, questa curva cresce continuamente senza mutare la sua forma. Per questo motivo la spirale logaritmica è stata chiamata anche spirale di crescita. Non è un caso che la spirale logaritmica sia ampiamente utilizzata in natura dagli organismi viventi durante la loro crescita. Ad esempio, consideriamo il mollusco che costruisce la conchiglia del Nautilus: l'animale cresce continuamente, ma la sua conchiglia è rigida. Come può ingrandire la sua "casa" man man che cresce, senza doverla distruggere e ricostruire da capo? L'unico modo è aggiungere sempre nuovi vani che siano esattamente della stessa forma dei precedenti, ma leggermente più grandi. In geometria, questa crescita autosimilare genera una spirale logaritmica. In altre parole, il mollusco durante la sua crescita incrementa la conchiglia che lo contiene senza cambiare la sua forma per risolvere un problema pratico di efficienza e spazio e la soluzione più ovvia porta alla forma di una spirale logaritmica.

Se consideriamo un punto P sulla spirale logaritmica la sua distanza dall'origine è:

r = ae^bΘ

Dopo un giro completo il punto P si troverà nella posizione P' che ha distanza dal polo:

r₁ = ae^{b(Θ + 2Π)} = ae^bΘ ⋅ e^2bΠ

Dopo un ulteriore giro completo il punto P' si troverà nella nuova posizione P" che ha distanza dal polo:

r₂ = ae^{b(Θ + 4Π)} = ae^bΘ ⋅ (e^2bΠ)²

Dopo n giri completi il nuovo punto avrà distanza dal polo:

r_n = ae^{b(Θ + 2nΠ)} = ae^bΘ ⋅ (e^2bΠ)ⁿ

Se b > 0 la distanza dall'origine cresce secondo una progressione geometrica di ragione e^2bΠ o decresce se b < 0. Il valore e^2bΠ è anche il rapporto costante fra due raggi vettori consecutivi e quindi rappresenta il fattore di accrescimento della spirale logaritmica. Per questo motivo la spirale logaritmica è stata chiamata anche spirale proporzionale.

Le equazioni parametriche della spirale logaritmica sono:

Modificando i valori dei due parametri a e b si ottengono le diverse spirali logaritmiche. Il parametro a modifica la grandezza della spirale mentre il parametro b fa variare il verso di rotazione: antiorario se b>0, orario se b<0. Inoltre, il parametro b determina anche la distanza tra le spire. Se a=0 la spirale diventa un punto, se a>0 e b=0, la spirale degenera in una circonferenza di raggio a.

Con il software GeoGebra possiamo ottenere la spirale logaritmica utilizzando le equazioni della curva con il comando:

curva(ae^btcos(t), ae^btsin(t), t, 0, 8Π) Oppure costruire la spirale logaritmica come traccia lasciata da un punto che si muove con moto uniformemente accelerato lungo una semiretta che ruota attorno a un'origine.

Si definisce lo slider t=[0, 20] con passo 0,0001 per avere un angolo di lunghezza variabile.

Si definisce lo slider b=[0, 1] con passo 0,0001 per stabilire la distanza tra le spire.

Si definisce lo slider a=[0, 1] con passo 0,0001 per stabilire la grandezza della spirale.

Si traccia il punto A=(cos(t), sin(t)) per creare un punto che ruota in senso antiorario intorno all'origine O degli assi polo della spirale.

Si tracci la semiretta OA per creare la semiretta che ruota con centro in O.

Si traccia il punto P=a(esup>(bt)cos(t), e^(bt)sin(t)) per creare un punto che si muove sulla semiretta OA.

Selezionare traccia attiva su P e animazione attiva su t per tracciare la spirale.