Spirale iperbolica

La spirale iperbolica, è chiamata anche spirale reciproca o spirale inversa perchè le coordinate polari dei punti che la compongono sono tra loro inversamente proporzionali e la sua equazione in coordinate polari riflette la stessa relazione di proporzionalità inversa che caratterizza l'iperbole equilatera in coordinate cartesiane (xy=k). Infatti, l'equazione polare della curva è:

rθ = a

dove r è il raggio vettore, θ è l'angolo (diverso da zero) espresso in radianti e a è una costante reale positiva che determina il fattore di scala della curva.

Questa curva, fu studiata per la prima volta da Pierre Varignon nel 1704 e, successivamente, da Johann Bernoulli e Roger Cotes. Utilizzando le classiche formule di trasformazione otteniamo le equazioni parametriche in x e y per poter visualizzarla nel piano cartesiano:

Con il software GeoGebra possiamo ottenere la spirale iperbolica utilizzando le equazioni della curva con il comando:

Ecco il grafico della curva:

Come si vede dal grafico, la caratteristica più sorprendente della spirale iperbolica risiede nei suoi due comportamenti limiti, vale a dire quando l'angolo θ tende a zero e quando tende a infinito.

• Quando l'angolo θ decresce i valori corrispondenti del raggio r aumentano, e quando l'angolo θ diventa infinitamente piccolo, il raggio r tende all'infinito e si avvicina indefinitamente a una retta parallela all'asse delle ascisse. Per determinare l'equazione di questo asintoto consideriamo il limite della coordinata y per θ che tende a zero.

  

  Ne segue che la curva si avvicina alla retta y=a senza mai toccarla, e quindi la spirale iperbolica ha un asintoto orizzontale di equazione y = a.

  

• Al contrario, quando l'angolo θ cresce i valori corrispondenti del raggio r diminuiscono, e quando l'angolo θ cresce verso l'infinito, il raggio r tende a zero. La curva inizia ad avvolgersi attorno al polo con spire sempre più strette. Poichè il raggio decresce continuamente senza mai raggiungere lo zero per valori finiti di θ, il polo rappresenta un punto asintotico. La spirale compie infiniti giri attorno all'origine descrivendo un "buco nero" geometrico in cui la curva si condensa infinitamente.