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Spirale di Archimede

La spirale è una linea curva piana che si sviluppa intorno a un punto, detto polo o origine, senza mai ritornare su se stessa. Archimede (287-212 a.C.) fu il primo a studiare le proprietà della spirale più semplice, che in suo onore è detta spirale di Archimede, nel suo libro Sulle spirali. Archimede definí la spirale come la curva piana tracciata da un punto che si muove uniformemente lungo una semiretta, mentre questa, a sua volta, ruota uniformemente intorno alla sua origine fissa.

Nella spirale di Archimede i tratti curvilinei generati dalla rotazione di un giro completo della semiretta sono detti spire e la distanza tra il polo e un punto della spirale è detto raggio vettore. Come si può vedere dalla figura questo tipo di spirale è uniforme perchè cresce con lo stesso passo, cioè la distanza tra due spire successive è costante. Questo perchè, ogni volta che la semiretta compie un giro completo, il punto si allontana di una lunghezza costante dall'origine. Questa curva può essere rappresentata in coordinate polari dall'equazione:

La rappresentazione parametrica della spirale è:

Con GeoGebra si ottiene la spirale di Archimede con il comando:

Anche Archimede, come buona parte dei matematici greci, subí il fascino dei tre famosi problemi della geometria: la quadratura del cerchio, la trisezione di un angolo, la duplicazione del volume di un cubo. Questi problemi dovevano essere risolti utilizzando solo due strumenti, la riga e il compasso. Oggi sappiamo che con questa limitazione i tre problemi sono insolubili, mentre possono essere risolti utilizzando varie curve non costruibili solo con riga e compasso. Archimede utilizzò la spirale per risolvere due di questi problemi: la quadratura del cerchio e la trisezione di un angolo.

• La quadratura del cerchio.
  
  Questo problema è riconducibile alla rettificazione della circonferenza, cioè alla possibilità di costruire un segmento che abbia la stessa lunghezza di una circonferenza. Per far ciò prese in considerazione la prima spira della spirale e tracciò il primo cerchio, cioè il cerchio di centro A e raggio AB. Poi tracciò la tangente alla spirale nel punto B e la retta s perpendicolare ad AB in A e indicò con C il punto di intersezione tra r e s. Infine dimostrò che la lunghezza del segmento AC era uguale alla lunghezza della circonferenza di raggio AB. Come si vede dalla figura, seguendo questo procedimento la lunghezza della circonferenza di raggio 2 cm risulta essere di 12,6 cm che rappresenta una buona approssimazione per eccesso con una sola cifra decimale.

  

• la trisezione di un angolo.
  
  Archimede costruisce sulla spirale l'angolo AOB, da dividere in tre parti uguali, in modo che il vertice O coincida con il punto iniziale della spirale, il lato OA coincida con la posizione iniziale della semiretta s che ruota e il lato OB intersechi la spirale in un punto C. Poi, divide il segmento OC in tre parti uguali OD = DE = EC e traccia due circonferenze aventi per centro O e per raggi OD e OE. Queste circonferenze intersecano la spirale in due punti F e G che individuano le due semirette OF e OG che dividono in tre parti uguali l'angolo di partenza. La giustificazione di questo procedimento deriva dal fatto che nella spirale di Archimede le distanze dei punti della curva dal polo sono direttamente proporzionali all'angolo di rotazione. Pertanto alle tre distanze uguali OD = DE = EC sul raggio vettore corrispondono i tre angoli uguali percorsi dalla semiretta s. Questo metodo può essere esteso e quindi utilizzato per dividere un angolo in un qualsiasi numero di parti uguali.