Spirale aurea
Una suggestiva e interessante spirale logaritmica è denominata spirale aurea perchè ha il fattore di accrescimento fortemente legato al numero aureo φ (si legge phi) e per la sua frequente comparsa in natura. Questa curva geometrica è stata adottata da alcuni organismi viventi per la loro crescita.
Ricordiamo che il numero aureo rappresenta il rapporto che intercorre tra le due parti in cui è diviso un segmento in modo che la parte maggiore sia medio proporzionale tra l'intero segmento e la parte minore e tale rapporto è un numero irrazionale il cui valore è:
La caratteristica fondamentale della spirale aurea è che a ogni quarto di giro (90° o Π/2 radianti) la curva si allontana dal suo centro (polo) di un fattore pari a φ. Questa particolarità ci permette di determinare sia la relazione tra il coefficiente di crescita b e il numero aureo sia l'equazione parametrica della spirale aurea.
L'equazione polare di una generica spirale logaritmica è:
r = a ⋅ ebΘ
dove, r è la distanza di un punto dal polo, a è una costante reale positiva (detta fattore di scala), e è il numero di Nepero ed è la base dei logaritmi naturali, Θ è l'angolo di rotazione in radianti. Quando Θ è un angolo retto in base alla proprietà della spirale aurea possiamo scrivere:
r(Π/2) = φ
Cioè:
φ = a ⋅ ebΠ/2
E imponendo per semplicità il parametro a=1 e passando ai logaritmi naturali possiamo scrivere:
ln(φ) = ln(ebΠ/2)
E applicando le proprietà del logaritmi si ottiene:
ln(φ) = (bΠ/2)ln(e)
Essendo ln(e)=1 e esplicitando b si ha:
E come si vede b è direttamente proporzionale al logaritmo naturale di φ. Inserendo il valore di φ e di Π si ottiene il valore di b ≅ 0,306349...
L'equazione polare di una spirale aurea è quindi:
Per passare dalle coordinate polari alle coordinate cartesiane (x, y) utilizziamo le classiche formule di trasformazione trigonometriche:
x = r cos Θ y = r sin Θ
E sostituendo l'espressione di r ricavata precedentemente otteniamo le equazioni parametriche della spirale aurea:
Con il software GeoGebra possiamo ottenere la spirale aurea utilizzando le equazioni della curva con il comando:
Ecco il grafico:
Possiamo ingrandire o rimpicciolire la spirale aurea inserendo il fattore di scala (parametro a) moltiplicando entrambe le equazioni per una costante a. Ecco ad esempio una rappresentazione del grafico con la slider a con variazione da 0 a 1 e con incremento 0,01.
La spirale aurea essendo una particolare spirale logaritmica ha anche le stesse proprietà:
- Autosimilità.
La spirale aurea è geometricamente autosimile. Ciò significa che se si ingrandisce o si rimpicciolisce una qualsiasi porzione della curva questa risulterà sempre identica all'originale.
- L'angolo costante.
In ogni punto della curva, la retta tangente alla spirale forma un angolo costante α con il raggio vettore che unisce il punto al polo. Per la spirale aurea questo angolo è pari a:
α = arctan(1/b) ≅ 72,9°
Ma a differenza delle altre spirali logaritmiche la spirale aurea ha un particolare legame con la successione di Fibonacci. Costruendo una serie di quadrati i cui lati corrispondono ai numeri della successione di Fibonacci:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …
e tracciando un quarto di cerchio all'interno di ciascuno si ottiene una spirale fatta di "pezzetti" di cerchio uniti tra loro che per comodità chiamiamo "spirale di Fibonacci" che è una curva discontinua nella sua crescita perchè i quadrati cambiano di dimensioni a scatti. Ma questa curva a scatti è oggettivamente simile alla spirale aurea.
La curva è sicuramente un'approssimazione della spirale aurea eppure all'aumentare dei termini della successione la "spirale di Fibonacci" converge asintoticamente alla vera spirale aurea che è perfetta e continua e cresce in modo fluido ed elegante di un fattore pari a φ ogni quarto di giro. Possiamo dire che la spirale aurea rappresenti un ideale irraggiungibile e attraverso la successione di Fibonacci la natura con piccoli passi alla volta si avvicina cosí tanto all'ideale da renderlo reale.