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Nefroide
L'epicicloide con due cuspidi è noto con il nome nefroide perchè ha una forma simile al rene.
La sua equazione parametrica è:
Questa curva fu studiata da Cristian Huygens che la vide formarsi per riflessione da uno specchio sferico quando su di esso incideva un fascio di raggi paralleli. La nefroide è anche una curva algebrica di 6° e la sua equazione cartesiana è:
(x2 +y2-4a2)3 - 108a4y2 = 0 con a ≠ 0
La curva è simmetrica sia rispetto all'asse x che rispetto all'asse y. La lunghezza della nefroide è uguale a 24a, mentre l'area della regione limitata dalla nefroide è uguale a 12Πa2. Questa curva si può ottenere in molti modi:
Come inviluppo di circonferenze:
Tracciamo la circonferenza di raggio r=1 e centro in A (0, 0) nel piano cartesiano. Dividiamo la circonferenza in 24 archi uguali e tracciamo le circonferenze che hanno per centro ciascuno dei 24 punti individuati e tangenti all'asse x.
Aumentando il numero delle circonferenze si evidenzia maggiormente la curva.
Con il software GeoGebra possiamo ottenere l'inviluppo delle circonferenze in modo dinamico con la seguente procedura:
-Tracciare i punti A(0,0) e la circonferenza di centro in A e raggio 1.
-Tracciare i punti B(-1,0) e C(1,0) come intersezione tra la circonferenza e l'asse x.
-Generare uno slider α da 0° a 360° con incrementi di 5°.
-Applicare una rotazione al punto C rispetto al punto A con una rotazione α per ottenere il punto C'
-Tracciare la retta a perpendicolare all'asse x e passante per il punto C'.
Ottenere il punto D come intersezione tra la retta a e l'asse x, tracciare il segmento C'D e nascondere la retta a.
-Tracciare la circonferenza di centro C' e passante per il punto D.
-Selezionare mostra traccia di quest'ultima circonferenza e attivare traccia attiva di α.
Come inviluppo di rette:
Con il software GeoGebra possiamo ottenere l'inviluppo delle rette in modo dinamico con la seguente procedura:
-Tracciare i punti A(0,0) e la circonferenza di centro in A e raggio 1.
-Tracciare i punti B(0,1) e C(0,-1) come intersezione tra la circonferenza e l'asse y.
-Generare uno slider α da 0° a 360° con incrementi di 5°.
-Applicare una rotazione al punto B rispetto al punto A con una rotazione α per ottenere il punto B'
-Applicare una rotazione al punto B rispetto al punto A con una rotazione 3 ⋅ α per ottenere il punto B1'
-Tracciare la retta passante per B'B1'.
-Selezionare mostra traccia della retta e attivare traccia attiva di α.
Come inviluppo di segmenti:
Con il software GeoGebra possiamo ottenere l'inviluppo dei segmenti in modo dinamico con la seguente procedura:
-Tracciare i punti A(0,0) e B(1, 0) e la circonferenza di centro in A e raggio 1.
-Generare uno slider α da 0° a 360° con incrementi di 5°.
-Applicare una rotazione al punto B rispetto al punto A con una rotazione α per ottenere il punto B'.
-Applicare una rotazione al punto B' rispetto al punto A con una rotazione 2 ⋅ α per ottenere il punto B".
-Tracciare il segmento a=B'B".
-Selezionare traccia attiva di a e di α.
