Nefroide

L'epicicloide con due cuspidi è noto con il nome nefroide perchè ha una forma simile al rene.

La sua equazione parametrica è:

Questa curva fu studiata da Cristian Huygens che la vide formarsi per riflessione da uno specchio sferico quando su di esso incideva un fascio di raggi paralleli. La nefroide è anche una curva algebrica di 6° e la sua equazione cartesiana è:

(x² +y²-4a²)³ - 108a⁴y² = 0 con a ≠ 0

La curva è simmetrica sia rispetto all'asse x che rispetto all'asse y. La lunghezza della nefroide è uguale a 24a, mentre l'area della regione limitata dalla nefroide è uguale a 12Πa². Questa curva si può ottenere in molti modi:

• Come inviluppo di circonferenze:

  Tracciamo la circonferenza di raggio r=1 e centro in A (0, 0) nel piano cartesiano. Dividiamo la circonferenza in 24 archi uguali e tracciamo le circonferenze che hanno per centro ciascuno dei 24 punti individuati e tangenti all'asse x.

  

  Aumentando il numero delle circonferenze si evidenzia maggiormente la curva.

  Con il software GeoGebra possiamo ottenere l'inviluppo delle circonferenze in modo dinamico con la seguente procedura:

  1. Tracciare i punti A(0,0) e la circonferenza di centro in A e raggio 1.
  2. Tracciare i punti B(-1,0) e C(1,0) come intersezione tra la circonferenza e l'asse x.
  3. Generare uno slider α da 0° a 360° con incrementi di 5°.

  4. Applicare una rotazione al punto C rispetto al punto A con una rotazione α per ottenere il punto C'

  5. Tracciare la retta a perpendicolare all'asse x e passante per il punto C'.

  6. Ottenere il punto D come intersezione tra la retta a e l'asse x, tracciare il segmento C'D e nascondere la retta a.

  7. Tracciare la circonferenza di centro C' e passante per il punto D.
  8. Selezionare mostra traccia di quest'ultima circonferenza e attivare traccia attiva di α.
• Come inviluppo di rette:

  Con il software GeoGebra possiamo ottenere l'inviluppo delle rette in modo dinamico con la seguente procedura:

  1. Tracciare i punti A(0,0) e la circonferenza di centro in A e raggio 1.
  2. Tracciare i punti B(0,1) e C(0,-1) come intersezione tra la circonferenza e l'asse y.
  3. Generare uno slider α da 0° a 360° con incrementi di 5°.

  4. -Applicare una rotazione al punto B rispetto al punto A con una rotazione α per ottenere il punto B'.

  5. Applicare una rotazione al punto B rispetto al punto A con una rotazione 3 ⋅ α per ottenere il punto B1'.

  6. Tracciare la retta passante per B'B1'.
  7. Selezionare mostra traccia della retta e attivare traccia attiva di α.
  8. Come inviluppo di segmenti:

     Con il software GeoGebra possiamo ottenere l'inviluppo dei segmenti in modo dinamico con la seguente procedura:

     1. Tracciare i punti A(0,0) e B(1, 0) e la circonferenza di centro in A e raggio 1.
     2. Generare uno slider α da 0° a 360° con incrementi di 5°.

     Applicare una rotazione al punto B rispetto al punto A con una rotazione α per ottenere il punto B'.

     3. Applicare una rotazione al punto B' rispetto al punto A con una rotazione 2 ⋅ α per ottenere il punto B".

     4. Tracciare il segmento a=B'B".

        -Selezionare traccia attiva di a e di α.