;

Lemniscata

La lemniscata è una curva piana a forma di otto orizzontale descritta per la prima volta nel 1694 dal matematico svizzero Jakob Bernoulli, come il luogo dei punti P(x,y) del piano per i quali il prodotto delle distanze da due punti fissi F(0, a) e F'(0,-a) detti fuochi è costante ed è uguale al quadrato della semi distanza tra i fuochi. Bernoulli chiamò questa curva lemniscata per la sua forma che ricorda un nastro annodato che nell'antica Roma veniva chiamato lemniscus.

Se a è la distanza dei fuochi dall'origine degli assi si ha:

E applicando il teorema di Pitagora si ottiene:

Pertanto l'equazione algebrica in coordinate cartesiane della lemniscata di Bernoulli è di quarto grado, con un punto doppio nodale nell'origine degli assi, mentre le equazioni parametriche sono:

Bernoulli non sapeva che la lemnsicata è un caso particolare di una famiglia di curve scoperte 14 anni prima dall'italiano Giovanni Cassini e chiamate in suo onore ovali di Cassini. Cassini studiando la traettoria della Terra intono al Sole aveva scoperto l'equazione di quarto grado:

dove a è la semi distanza tra i due fuochi e b è un valore costante. La forma di queste curve dipende dai valori dei due parametri a e b e si possono presentare tre casi:

• a² = b².
  
  Si ottiene la lemniscata di Bernoulli;

• a² > b².
  
  La curva è composta da due ovali distinti situati simmetricamente rispetto all'asse y e circondano i rispettivi fuochi;

• a² < b².
  
  La curva è composta da un solo ramo chiuso contenente all'interno i due fuochi.

La lemniscata si può ottenere come inviluppo di una famiglia di circonferenze passanti per l'origine del sistema cartesiano e il cui centro sia un punto di una iperbole equilatera.