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Ipocicloide
Le curve piane cicliche dette ipocicloidi sono generate dalla traettoria di un punto fisso appartenente alla circonferenza di un cerchio di raggio r che rotola senza strisciare internamente su un'altra circonferenza di un cerchio di raggio R. Ad esempio, in figura sono rappresentate due ipocicloidi con i raggi rispettivamente: r=1 e R=3, r=1 e R=4.
Anche le ipocicloidi sono costituite da archi uguali detti lobi che si ripetano e il numero dei lobi dipende dal rapporto dei raggi delle due circonferenze. Se il raggio R è un multiplo intero del raggio r, cioè R/r = n numero intero allora l'ipocicloide è una curva chiusa con n cuspidi. Se il raggio R è m/n volte il raggio r l'ipocicloide si chiude dopo n giri della circonferenza mobile ed è formata da m cuspidi. Ad esempio se R = 5 e r = 3 l'epicicloide si chiude dopo 3 giri completi della circonferenza mobile ed è formata da 5 archi come si vede in figura.
Invece se il rapporto R/r è un numero irrazionale l'ipocicloide non si chiude mai.
Se il rapporto R/r è uguale a 2 si ottiene un'ipocicloide degenere in quanto il punto fisso sulla circonferenza mobile non genera una curva, ma una linea che coincide con il diametro del cerchio fisso.
Le equazioni parametriche delle ipocicloidi sono:
Vediamo come possiamo ottenere dinamicamente alcune ipocicloidi con il software GeoGebra:
Si definiscono le slider R=[1, 8, incremento 1], r=[1, 4 incremento 1], α=[0, r*360°, incremento 1].
Si definiscono il punti A(0,0) e la circonferenza di centro A e raggio R.
Si definiscono il punto B(R-r, 0) la circonferenza di centro B e raggio r.
Si definiscono la retta a perpendicolare all'asse x e passante per B, e la retta b perpendicolari all'asse y passanti per B.
Si definiscono le rotazioni del punto B, delle rette a e b, della circonferenza di centro B e raggio r intorno al punto A con angolo α.
Sia C l'intersezione tra la retta b' (ottenuta dalla rotazione di b) e la circonferenza precedentemente ruotata.
Sia C' la rotazione del punto C intorno al punto B' con angolo -α.
Si definisce il segmento B'C'.
Si attiva Mostra traccia di C'.
Muovendo lo slider α si ottiene l'epicicloide come luogo dei punti. Variando gli slider R e r variano i raggi delle circonferenze e di conseguenza varia anche la forma dell'ipocicloide.
In figura con R=7 e r=3 si ottiene l'ipocicloide con 7 cuspidi.
Anche le ipocicloidi possono essere accorciate se si sceglie il punto fisso interno al cerchio mobile o allungate se si sceglie il punto sul prolungamento del raggio del cerchio mobile. Le curve ipocicloidi accorciate vengono dette ipotrocoidi e quelle allungate vengono dette epitrocoidi. Nella seguente figura sono rappresentate l'ipocicloide con tre cuspidi e le relative epitrocoide e ipotrocoide.
Le equazioni parametriche delle epitrocoidi e ipotrocoidi sono:
dove d è la distanza del punto fisso dal centro della circonferenza mobile.
In commercio esiste un giocattolo per bambini chiamato spirografo che permette di disegnare un notevole numero di meravigliosi ipotrocoidi.
Questo giocattolo è un dispositivo costituito da vari dischi dentati che possono rotolare all'interno di un anello più grande anch'esso dentato. I dischi presentano alcuni fori e inserendo la punta della penna in un foro si fa rotolare il disco all'interno dell'anello.
