Cuve famose

Rappresentazione grafica di una curva

Una curva piana è costituita da un insieme dei punti geometrici detto luogo caratterizzati da una determinata proprietà geometrica. Questa proprietà può essere espressa mediante una relazione detta equazione che lega due grandezze variabili in cui il valore di una delle due grandezze dipende dal valore dell'altra grandezza. La prima è detta variabile dipendente, la seconda variabile indipendente. Queste due grandezze formano delle coppie ordinate di numeri reali. Ogni coppia ordinata può essere associata a un dato punto del piano euclideo mediante un opportuno sistema di riferimento. L'insieme di questi punti nel piano euclideo costituiscono il grafico della curva. Fino ad ora abbiamo utilizzato il sistema di riferimento cartesiano ortogonale che consiste in una coppia di rette orientate, tra loro perpendicolari, su cui sia stata fissata una unità di misura. Il punto O di intersezione tra le due rette è detto origine, la retta orizzontale è detta asse delle ascisse o asse delle x, la retta verticale è detta asse delle ordinate o asse delle y.

Per ogni punto P del piano possiamo tracciare le parallele da P ai due assi coordinati individuando sugli assi due punti ai quali corrispondono due numeri reali detti rispettivamente ascissa e ordinata del punto P che viene indicato con la scrittura P(x, y). Viceversa, ogni coppia di numeri reali (x, y) individua nel piano un punto P, ottenuto come intersezione tra le due rette parallele agli assi passanti per i punti x e y. Ad esempio la circonferenza è il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro. Se il centro è nell'origine degli assi cartesiano e la distanza dei punti sulla circonferenza dal centro è r possiamo esprimere questo luogo o proprietà geometrica con l'equazione:

x² + y² = r²

Se r=2 l'equazione divente x² + y² = 2² e l'insieme delle coppie ordinate di numeri (x, y) che soddisfano l'equazione riportati nel piano cartesiano formano il grafico della curva circonferenza.

Il sistema delle coordinate cartesiane non è l'unico modo per individuare la posizione di un punto nel piano. Un altro sistema è quello delle coordinate polari. Un riferimento di coordinate polare è individuato da un punto O detto polo, da una semiretta orientata x avente origine in O detta asse polare, e da un segmento unitario u. La posizione di un punto P del piano è determinata da una coppia ordinata di numeri reali (r, Θ) dove r è la misura del segmento OP rispetto all'unità di misura u e Θ è la misura, espressa in radianti, dell'angolo orientato con verso antiorario che l'asse x forma con la semiretta OP.

Il numero r ≥ 0 è detto modulo o raggio vettore del punto P e il numero Θ è detto anomalia o argomento di P. Per rendere univoche le coordinate di P viene fissato, per l'argomento Θ, un intervallo di ampiezza 0≤Θ<2Π entro il quale può variare. In questo modo ogni coppia ordinata di numeri reali (r, Θ) individua nel piano un punto P(r, Θ) ottenuto come intersezione tra la circonferenza di centro O e raggio r e la semiretta avente per origine O e formante con l'asse x l'angolo Θ. Ad esempio rappresentiamo in un sistema di riferimento polare i punti:

Tracciamo la circonferenze di centro O e raggio 1 e la semiretta con origine in O e ruotata di 60° rispetto all'asse polare con verso antiorario. Il punto di intersezione tra la circonferenza e la semiretta individua il punto A. Tracciamo la circonferenze di centro O e raggio 2 e la semiretta con origine in O e ruotata di 315° rispetto all'asse polare con verso antiorario. Il punto di intersezione tra la circonferenza e la semiretta individua il punto B.

A volte è necessario poter individuare un punto del piano utilizzando sia il sistema di coordinate cartesiane sia il sistema di coordinate polari e quindi è utile poter passare da un sistema di coordinate all'altro. Per passare dal sistema di coordinate polari al sistema di coordinate cartesiane e viceversa consideriamo i due sistemi di riferimento sovrapposti in modo che il polo O coincida con l'origine degli assi cartesiani e l'asse polare coincida con il semiasse positivo delle x e l'unità di misura u dei segmenti sia la stessa.

Il punto P ha coordinate polari (r, Θ) e coordinate cartesiane (x, y). Il triangolo OPH è rettangolo e quindi le coordinate cartesiane di P possono essere espresse in funzione di r e Θ dalle due relazioni:

Vicersa le coordinate polari di P possono essere espresse in funzione di x e y dalle due relazioni:

Ad esempio, se

sono le coordinate polari di un punto A, le sue coordinate cartesiane sono:

Se

sono le coordinate cartesiane di un punto B, le sue coordinate polari sono:

Abbiamo visto come individuare punti nel piano polare, vediamo ora come si possano individuare delle curve. Una curva rappresentata in un sistema di coordinate polari è costituita da tutti i punti distinti (r, Θ) che soddisfano un'equazione del tipo r = f(Θ) che lega la variabile r alla variabile Θ. Vediamo alcuni esempi:

• Equazione r = k
  

  dove k è un numero reale costante. La proprietà che caratterizza il grafico di questa equazione è tutti i punti hanno lo stesso modulo k cioè, hanno la stessa distanza k dal polo O, mentre l'anomalia è libera di variare tra 0 e 2Π. In altre parole, l'equazione r = k rappresenta, in un riferimento polare, una circonferenza con centro nel polo e raggio k; per k = 2 si ottiene il grafico:

  

• Equazione Θ = k
  

  dove k è un numero reale costante. La proprietà che caratterizza il grafico di questa equazione è tutti i punti hanno la stessa anomalia k cioè, le semirette con origne nel polo e che passano per ciascuno di questi punti formano con l'asse polare sempre lo stesso angolo k, mentre il modulo è libero di variare tra 0 e 2Π. In altre parole, l'equazione Θ = k rappresenta, in un riferimento polare, una semiretta con origine nel polo e anomalia k; per k = Π/4 si ottiene il grafico:

  
  

• Equazione r = Θ
  

  La proprietà che caratterizza il grafico di questa equazione è tutti i punti hanno il modulo uguale all'anomalia e i due valori variano con continuità. In altre parole, l'equazione r = Θ rappresenta, in un riferimento polare, una spirale, cioè una curva che si avvolge attorno al polo allontanandosi progressivamente:

  

• Equazione

  
  

  La proprietà che caratterizza il grafico di questa equazione è tutti i punti distano a unità dalla retta polare. In altre parole, l'equazione rappresenta una retta parallela all'asse polare e distante a unità. Ad esempio se a=2 si ha:

  

• Equazione

  
  

  La proprietà che caratterizza il grafico di questa equazione è tutti i punti distano a unità dalla retta perpendicolare all'asse polare e passante per il polo. In altre parole, l'equazione rappresenta una retta perpendicolare all'asse polare a una distanza a unità dal polo. Ad esempio se a=1 si ha:

  

Se l'equazione di una curva è espressa in forma cartesiana possiamo scriverla in coordinate polari e viceversa, se l'equazione è espressa in forma polare possiamo scriverla in coordinate cartesiane applicando le formule delle trasformazione tra le coordinate viste precedentemente. Vediamo alcuni esempi:

• Equazione y = 2x + 1

  Applicando le formule di trasformazione y=r⋅sin(Θ) e x=r⋅cos(Θ) si ottiene l'equazione polare:

  

• Equazione y = x²

  Applicando le formule di trasformazione y=r⋅sin(Θ) e x=r⋅cos(Θ) si ottiene l'equazione polare:

  

• Equazione r + sin Θ = 0

  Applicando le formule di trasformazione

  
  

  si ottiene l'equazione cartesiana:

  

• Equazione r²+r(2cos Θ - 4 sin Θ) - 1 = 0

  Applicando le formule di trasformazione

  
  

  si ottiene l'equazione cartesiana:

  

Se una curva ha per equazione r=f(Θ) in coordinate polari, è possibile rappresentare la stessa curva, nel piano cartesiano ortogonale con le equazioni parametriche:

Ad esempio la circonferenza r=2 in coordinate polari, può essere rappresentata nel piano cartesiano con le equazioni parametriche

Nella seguente figura è rappresentato il grafico polare e il grafico cartesiano della stessa circonferenza

Spesso nelle equazioni paramtriche la variabile Θ viene indicata con la lettera t. Con il software GeoGebra per visualizzare il grafico di una curva espressa con un'equazione in coordinate polare bisogna prima trasformare l'equazione polare nelle corrispondenti equazioni parametriche e poi utilizzare il comanto curva con la seguente sintassi:

curva(Espressione1, Espressione2, parametro, valore iniziale, valore finale)

dove Espressione1 rappresenta la definizione della x e Espressione2 la definizione della y. Ad esempio per rappresentare con GeoGebra la curva di equazione polare r=3+2sin(t) scriviamo l'equazione in forma parametrica

e poi inseriamo il comando

curva((3+2sin(t))cos(t), (3+2sin(t))sin(t), t, 0, 2Π)

otteniamo così il grafico

L'utilità delle coordinate polari consiste nel poter descrivere molte curve, legate a importanti fenomeni fisici sui moti circolari, con semplici equazioni polari che si prestano meglio delle equazioni cartesiane per lo studio di queste curve.