Folium di Cartesio
Il folium di Cartesio o foglia di Cartesio è una curva algebriche cubica razionale avente un nodo nell'origine degli assi cartesiani, un cappio nel primo quadrante e due rami infiniti nei due quadranti adiacenti. L'equazione cartesiana della curva è:
x3 + y3 = 3axy
dove a è un parametro reale positivo che determina la dimensione del cappio della curva. In coordinate polari la curva ha per equazione:
Ecco il grafico ottenuto con il software dinamico GeoGebra.
La retta di equazione:
x + y + a = 0
E' un asintoto obliquo della curva come si vede dal grafico.
Altre proprietà del folium sono:
è simmetrica rispetto alla retta bisettrice del primo e terzo quadrante (y=x);
nel nodo le tangenti sono l'asse x e l'asse y;
L'area del cappio è uguale a quella della porzione compresa fra i due rami infiniti uscenti dall'origine e l'asintoto ed entrambi misurano 3/2a2.
Il folium di Cartesio ha un nodo nell'origine e ogni retta del fascio 𝑦 = 𝑚𝑥 interseca il folium di Cartesio in un solo punto diverso dall'origine. Solo per i valori limiti m = 0 (asse x) e m = ∞ (asse y) l'intersezione avviene nell'origine degli assi perchè sono le due tangenti principali del nodo. Mettendo a sistema l'equazione del folium e l'equazione del fascio di rette y=mx:
Si ottengono le coordinate del punto P di intersezione tra ogni retta del fascio e la curva.
Con il software di geometria dinamica GeoGebra possiamo animare il punto P in funzione dei due parametri a e m e ottenere come luogo dei punti il folium di Cartesio.
La storia del folium di Cartesio è anche la storia di una piccola, sfida matematica tra Cartesio e Pierre de Fermat. E' un episodio che mostra bene il loro carattere, il loro modo di fare matematica e la loro competitività.
Cartesio propose il folium come problema di geometria analitica, chiedendo a Fermat di determinarne la tangente in un punto. Fermat rispose rapidamente e correttamente, usando il suo metodo delle massime e minime (antenato del calcolo differenziale). Cartesio, infastidito dal fatto che Fermat avesse risolto il problema con un metodo diverso dal suo, minimizzò la soluzione e sostenne che Fermat non avesse capito la questione. In realtà, Fermat aveva capito benissimo,