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Epicicloidi
La cicloide è solo una particolare curva di una più ampia famiglia di curve piane cicliche, chiamate da Pascal rulette, generate dalla traettoria di un punto su una curva che rotola senza strisciare su un'altra curva. Altre particolari curve piane cicliche sono le epicicloidi che sono generate dalla traettoria di un punto fisso appartenente alla circonferenza di un cerchio di raggio r che rotola senza strisciare esternamente su un'altra circonferenza di un cerchio di raggio R. Ad esempio, in figura sono rappresentate tre epicicloidi con i raggi rispettivamente: r=1 e R=1, r=1 e R=2, r=1 e R=3.
Le epicicloidi sono costituite da archi uguali detti lobi che si ripetano. Il numero dei lobi dipende dal rapporto dei raggi delle due circonferenze:
Il punto C sulla circonferenza mobile ruota contemporaneamente sia intorno al centro B che intorno al centro A. Quando ruota di un intero giro intorno a B percorre sulla circonferenza mobile un arco di 2Πr mentre sulla circonferenza fissa si sposta di un arco pari a Rα. Ad esempio nella seguente figura il punto C ha percorso un arco di 2Πr sulla circonferenza mobile e un arco di R⋅2/3 Π sulla circonferenza fissa.
Le lunghezze dei due archi sono uguale perchè la circonferenza mobile non striscia ma rotola su quella fissa. Le rispettive lunghezze di questi due archi si ottengono dal prodotto dei raggi per gli angoli al centro sottesi dagli archi e espressi in radianti. Per cui si ha:
Rα = 2Πr
Da questa relazione si deduce che il rapporto tra i due raggi è inversamente proporzionale al rapporto tra i due archi percorsi. L'epicicloide si chiude se il punto C, dopo un giro completo intorno al punto A, ritorna nella sua posizione iniziale e ciò accade se il raggio R è un multiplo intero del raggio r, cioè R/r = numero intero. Se il raggio R è m/n volte il raggio r l'epicicloide si chiude dopo n giri della circonferenza mobile ed è formata da m lobi. Ad esempio se R = 5 e r = 3 l'epicicloide si chiude dopo 3 giri completi della circonferenza mobile ed è formata da 5 archi come si vede in figura:
Invece se il rapporto R/r è un numero irrazionale l'epicicloide non si chiude mai.
Nelle epicicloidi due lobi continui hanno un punto in comune detto cuspide o punto singolare o punto doppio in quanto in questi punti i due lobi si incontrano a punta e hanno in comune la tangente. Il numero dei cuspidi presenti in una curva epicicloide è uguale al numero dei lobi.
Le equazioni parametriche delle epicicloidi sono:
Con il software GeoGebra possiamo ottenere le epicicloidi utilizzando le equazioni della curva con il comando:
oppure costruire l'epicicloide come luogo dei punti che si ottengono da un punto di una circonferenza che ruota esternamente su una circonferenza fissa. Le istruzioni per la costruzione sono:
Si definiscono i punti A(0,0), B(1,0) e la circonferenza di centro A e raggio 1 (questa è la circonferenza fissa di raggio R).
Si definisce lo slider α=[0, 360°, incremento 0.0001°].
Si definisce lo slider k=[0.1, 1, incremento 0.1] (k rappresenta il rapporto r/R).
Si definisce la semiretta AB.
Si definisce la circonferenza di centro B e raggio k.
Sia C il punto di intersezione tra la circonferenza di centro B e raggio k con la semiretta AB.
Si definisce la circonferenza di centro C e raggio k (questa è la circonferenza mobile di raggio r=R⋅k).
Si definisce la rotazione della circonferenza di centro C e raggio k intorno al punto A con angolo α (rotazione della circonferenza mobile).
Si definisce la rotazione della semiretta AB intorno al punto A con angolo α.
Sia C' la rotazione del punto C intorno al punto A con angolo α.
Sia B' la rotazione del punto B intorno al punto A con angolo α.
Sia B" la rotazione di B' intorno al punto C' con angolo α/k.
Si attiva Mostra traccia di B".
Muovendo lo slider α si ottiene l'epicicloide come luogo dei punti. Variando lo slider k varia il raggio r della circonferenza mobile e di conseguenza varia anche la forma dell'epicicloide.
In figura con k=0.5 il raggio r è la metà del raggio R e l'epicicloide si chiude ed è formata da due lobi.
Anche le epicicloidi possono essere accorciate se si sceglie il punto fisso interno al cerchio mobile o allungate se si sceglie il punto sul prolungamento del raggio del cerchio mobile. Nella seguente figura sono rappresentate l'epicicloide normale di colore viola generata dal punto C, l'epicicloide accorciata di colore blu generata dal punto D e l'epicicloide allungata di colore rosso generata dal punto E.
Le equazioni generali delle epicicloidi che contemplano sia le accorciate che le allungate sono:
dove R è il raggio della circonferenza fissa, r è è il raggio della circonferenza mobile e a è la distanza del punto fisso dal centro della circonferenza mobile. Con a=r si ottengono le epicicloidi normali, con a<r le epicicloidi accorciate e con a>r le epicicloidi allungate.
Nel sistema tolemaico detto anche modello geocentrico la Terra è posta al centro dell'universo e tutti gli altri corpi celesti ruotavano intorno ad essa. In questo sistema le orbite dei pianeti sono epicicloidi allungate.
