Parabole cubiche di Newton

Le curve algebriche di secondo grado (circonferenza, ellisse, parabola e iperbole) chiamate coniche furono ampiamente studiate e classificate dagli antichi greci e nel XVII secolo Cartesio e Pierre de Fermat utilizzando i metodi della geometria analitica poterono associare ad ognuna di queste curve un'equazione algebrica e rappresentarle nel piano cartesiano. Nel XVIII secolo Isaac Newton (1642-1727) noto soprattutto per l'invenzione del calcolo infinitesimale e per la teoria della gravitazione universale si dedicò allo studio e alla classificazione delle curve algebriche di terzo grado dette cubiche. Una curva algebrica piana del terzo ordine è il luogo dei punti del piano (x,y) che soddisfano un'equazione polinomiale di terzo grado nella forma generale:

Newton identificò 72 tipi diversi di curve cubiche (oggi sappiamo che le cubiche sono 78) raggruppadole in sole 4 classi principali. Una di queste classi fu chiamata parabole cubiche divergenti perchè a differenza delle classiche parabole di secondo grado, i loro rami si allontanano l'uno dall'altro in direzioni opposte verso l'infinito in modo molto più marcato. Questa famiglia di parabole cubiche hanno come equazione generale:

E l'equazione esplicita è:

Newton classificò le parabole cubiche in cinque tipi in base alle soluzioni del polinomio sotto radice:

p(x) = x³ + ax² + bx + c

Il polinomio essendo di terzo grado può avere tre soluzioni reali oppure una sola soluzione reale e due soluzioni complesse. Inoltre, nell'insieme dei numeri reali la radice quadrato esiste ed è reale solo dove il polinomio assume valori positivi o nulli e la curva esiste solo dove p(x) ≥ 0. La presenza del segno ± garantisce che la curva è simmetrica rispetto all'asse x. Vediamo le 5 diverse curve di questa famiglia di parabole cubiche.

1. Parabola campaniforme con ovale

   Se il polinomio ha tre radici reali e distinte, la curva si spezza in due parti separate:

   • Un ovale isolato chiuso situato tra le prime due radici.
   • Una parte a forma di campana che si estende all'infinito a partire dalla terza radice.

   Se le radici sono: α, β, γ l'equazione diventa:

   y² = (x - α)(x - β)(x - γ)

   E la regione del piano in cui si trova la curva è quella in cui si ha:

   α ≤ x ≤ β oppure x ≥ γ

   Nell'intervallo tra α e β si forma l'ovale, tra β e γ il polinomio è negativo e quindi c'è il vuoto. Da γ in poi p(x) cresce all'infinito generando i due rami della campana.

   Con il software GeoGebra possiamo creare tre slider a, b, c e inserire la funzione:

   y² = (x - a)(x - b)(x - c)

   Agendo sulle tre slider possiamo osservare che con tre valori diversi si ottengono parabole cubiche con ovale come si vede nella figura.

   
2. Parabola nodata

   Se il polinomio ha tre radici reali: di cui due coincidenti e minori della terza, la curva tocca se stessa formando un nodo (un punto doppio in cui la curva si incrocia) che racchiude un cappio, per poi divergere.

   Se le radici sono: α, β, γ e (β = γ) > α l'equazione diventa:

   y² = (x - α)(x - γ)²

   E la regione del piano in cui si trova la curva è quella in cui si ha:

   x ≥ α

   Per x = β il polinomio si annulla, ma subito prima e subito dopo è positivo. Pertanto, quando la curva passa per il punto (β, 0) si auto interseca (punto doppio con cappio).

   Agendo sulle tre slider in modo che sia (b = c) > a possiamo osservare le varie parabole cubiche con nodo come si vede nella figura.

   
3. Parabola puntata

   Se il polinomio ha tre radici reali: di cui due coincidenti e minore della terza, l'ovale scompare quasi del tutto, colassando in un singolo punto isolato nello spazio, staccato dal ramo principale a forma di campana.

   Se le radici sono: α, β, γ e (α = β) < γ l'equazione diventa:

   y² = (x - α)²(x - γ)

   E la regione del piano in cui si trova la curva è quella in cui si ha:

   x = α oppure x ≥ γ

   Il punto (α, 0) appartiene alla curva ma è completamente staccato dal resto della curva che parte da x=γ.

   Agendo sulle tre slider in modo che sia (a = b) < c possiamo osservare le varie parabole cubiche puntate come si vede nella figura.

   
4. Parabola cuspidata

   Se il polinomio ha tre radici reali coincidenti, la curva presenta una cuspide acuta nell'origine o nel punto di coincidenza.

   Se le radici sono: α, α, α l'equazione diventa:

   y² = (x - α)³

   E la regione del piano in cui si trova la curva è quella in cui si ha:

   x = ≥ α e P(α, 0) è un punto cuspidale

   Agendo sulle tre slider in modo che sia a = b = c possiamo osservare le varie parabole cubiche cuspidate come si vede nella figura.

   
5. Parabola campaniforme pura

   Se il polinomio ha tre radici: una reale e due complesse coniugate, la curva non ha nodi, cuspidi o ovali: è un'unica linea continua e fluida a forma di campana pura che si estende all'infinito.

   Queste curve hanno per equazione:

   y² = (x - α)(ax² + bx + c)

   dove b² - 4ac < 0. Ecco il grafico:

   

Le parabole cubiche appartenenti alle classi 1 e 5 hanno importanti applicazioni sia in matematica sia in informatica. Vengono chiamate curve ellittiche e sono utilizzate nella teoria dei numeri, nella crittografia e nella teoria dei codici.