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Concoide di Nicomede
Nicomede, un matematico greco vissuto tra il 250 e il 150 a.C. utilizzò questa curva, che chiamò concoide perchè aveva la forma che ricorda quella di una conchiglia, per risolvere graficamente il problema della trisezione di un angolo ossia dividere un dato angolo in tre parti uguali problema che non sempre è possibile eseguire con squadra e compasso.
Vediamo come si può costruire una curva concoide di Nicomede in un riferimanto cartesiano. Tracciamo una retta r parallela all'asse x e ad una determinata distanza d ad esempio d = 2 unità dal punto O origine degli assi. Prendiamo un punto A sulla retta r e tracciamo la retta s passante per O e per A. Prendiamo sulla retta s due punti B e C tali che la loro distanza da A sia uguale e fissa, ad esempio AB = AC = r = 1,6 unità. Il luogo geometrico dei punti B e C ottenuti variando l'inclinazione della retta s è la concoide della retta r rispetto al punto O.
La retta r è detta base della concoide, il punto O è detto polo della concoide e la distanza fissa r è detto intervallo. La curva è simmetrica rispetto all'asse y ed è costituita da due rami separati dalla retta base r che è un asintoto per entrambi i rami. L'aspetto del ramo inferiore della concoide può avere tre forme diverse che dipendono dalla relazione tra la distanza d e l'intervallo r.
Se r > d il ramo inferiore presenta un cappio e il polo è un nodo:
Se r = d il ramo inferiore presenta una cuspide nel polo:
Se r < d il ramo inferiore non passa per il polo e quest'ultimo rappresenta un punto isolato della curva:
Con il software GeoGebra possiamo ottenere la concoide di Nicomede in modo dinamico come luogo dei punti con la seguente procedura:
-Tracciare la retta parallela all'asse x e passante per il punto di coordinate (0, 2).
-Generare uno slider b valore minimo -10, valore massimo 10, incremento 0.1 e uno slider r valore minimo 1, valore massimo 4, incremento 0.1.
-Tracciare il punto A=(b, 2).
-Tracciare la circonferenza di centro in A e raggio r.
-Tracciare la retta passante per l'origine O e per il punto A.
-Siano B e C i punti di intersezione tra la circonferenza e la retta OA.
-Selezionare mostra traccia dei punti B e C e attivare traccia attiva di b.
Modificando il valore dello slider r si ottengono le varie concoidi.
L'equazione cartesiana della concoide di Nicomede è:(x2 + y2)(x - d)2 - r2x2 = 0
mentre le equazioni parametriche sono:
Vediamo come è possibile dividere un angolo qualsiasi in tre parti con la concoide di Nicomede. Per eseguire la costruzione utilizziamo il programma GeoGebra:
-Tracciamo un angolo AOB con O nell'origine degli assi e A sull'asse delle x.
-Prendiamo un punto C sul lato OB e tacciamo da C la retta parallela e la retta perpendicolare al lato OA.
-Sia D il punto di intersezione tra la retta perpendicolare e il lato OA.
-Siano e la misura del segmento OC ed h la misura del segmento OD.
-Tracciamo la concoide avente il polo nel punto O, la retta di base con distanza h e intervallo uguale a 2⋅e con il comando:curva(h+2⋅e⋅cos(t), h⋅tan(t)+2⋅e⋅sin(t),t,0,2Π)
-Indichiamo con G il punto di intersezione tra la concoide e la retta parallela all'asse x passante per il punto C.
-Tracciamo il segmento OG.
-Evidenziamo gli angoli AOG e AOB. come si vede l'angolo AOG è un terzo dell'angolo AOB scelto inizialmente:
