Catenaria

Galileo Galilei (1564-1642) scoprí che la traiettoria di un proiettile e la caduta libera di un oggetto descrivevano la stessa curva: una parabola. Quando osservò la curva geometrica che descrive una corda flessibile sospesa ai suoi estremi e soggetta unicamente alla forza di gravità credette che anche questa curva fosse una parabola.

Successivamente si rese conto dell'errore e notò che questa curva non era una parabola anche se per alcuni tratti si sovrapponeva a una parabola tanto da confondere i nostri occhi. Nel 1690 Jacob Bernoulli fu attratto da questa curva e su una rivista matematica pose il problema della determinazione della sua equazione. Un anno dopo Goffredo Leibniz (1646-1716), Johann Bernoulli, e Christian Huygens (1629-1695) scoprirono la sua equazione e dimostrarono che questa curva chiamata da Huygens catenaria non è una parabola anche se, come si può vedere dal grafico le due curve, almeno nella parte iniziale, sono quasi coincidenti.

La catenaria è una curva trascendente che ha per equazione:

dove a è una costante e rappresenta la distanza del punto minimo della curva dall'asse x. Ecco la curva ottenuta con GeoGebra:

Come si vede la curva è simmetrica rispetto all´asse y. Se poniamo a=1 possiamo verificare che la funzione:

che esprime la catenaria non è altro che la media aritmetica o combinazione lineare di due funzioni esponenziali simmetriche:

g(x) = e^x; h(x) = e^-x

1. Tracciamo con GeoGebra le tre curve f(x), g(x) e h(x):
2. Creiamo uno slider b intervallo -2, 2 con incremento 0.5.
3. Tracciamo i punti A=(b, g(b)), B=(b, h(b)).
4. Tracciamo il segmento AB e il suo punto medio C.

5. Muovedo lo slider b possiamo vedere che il punto A si muove su g(x), il punto B su h(x) e il punto C su f(x) e C è sempre il punto medio del segmento AB.

   

Nel 1744 Eulero dimostrò che la superficie laterale del solido di rotazione generato da una catenaria che ruota attorno all'asse delle x, la catenoide, è la superficie minima fra due circonferenze della stessa grandezza.

Si può ottenere una superficie catenoide immergendo un telaio di filo metallico composto da due cerchi paralleli in una soluzione di acqua e sapone. Sul telaio si formerà una pellicola e la superficie formata dalla pellicola è un catenoide. Ciò conferma sperimentale la proprietà del catenoide perchè la pellicola di sapone a causa della tensione superficiale tende a occupare meno spazio possibile distribuendosi su una superficie minima.

La catenaria possiede proprietà uniche che vengono utilizzate in fisica e in ingegneria.

1. Nella catenaria la distribuzione del peso è uniforme lungo tutta la lunghezza.

2. In ogni punto della curva, la tensione interna è diretta lungo la retta tangente alla curva stessa.

3. Tra tutte le curve possibili di uguale lunghezza fissate agli estremi, la catenaria è quella che posiziona il baricentro del sistema alla quota più bassa possibile.

Se si capolge verticalmente una catenaria, si ottiene l'arco catenario. La catenaria capovolta forma un arco equilibrato perchè distribuisce lungo tutta la lunghezza in modo uniforme il proprio peso scaricandolo poi tutto verticalmente e quindi non ha bisogno nè di contrafforti nè di mura di supporto. Ciò vuol dire che con una catenaria rovesciata si ottiene la massima resistenza con il minimo di materiale. Questa curva rappresenta quindi la forma migliore che può assumere un arco. Per questo motivo la catenaria rovesciata è molto apprezzata dagli ingegnieri e dagli architetti. Questa curva è stata utilizzata per sostenere ponti come ad esempio le arcate del famoso ponte di Santa Trinita a Firenze, per sostenere le cupole come ad esempio la cupola della cattedrale di St. Paul a Londra, per sostenere edifici come ad esempio la Sagrada Familia a Barcellona progettata da Gaudì.

I cavi elettrici ad alta tensione sospesi tra due tralicci formano una catenaria mentre i cavi principali di sostegno di un ponte sospeso formano approssimativamente una parabola.

Perchè i tiranti verticali e la carreggiata con il loro peso distribuito uniformemente in orizzontale distorciono la curva facendola diventare a tutti gli effetti una parabola

La catenaria rappresenta un perfetto esempio di come la natura ottimizzi le strutture per raggiungere l'equilibrio energetico. E come il matematico osservando la natura scopre che alcune forme geometriche hanno particolari proprietà utili per garantire efficienza e stabilita nelle costruzioni.