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Cardioide

L'epicicloide con una sola cuspide è nota con il nome cardioide perchè ha una forma simile al cuore. Si può facilmente osservare questa curva ponendo una tazza di ceramica o una pentola di acciaio vicino a una fonte luminosa e cambiare gradualmente l'inclinazione del recipiente rispetto ai raggi di luce. Quando il fondo del recipiente viene illuminato dai raggi riflessi dalle pareti appare la cardiode.

Questa curva è diventata famosa perchè è la figura centrale del frattale di Mandelbrot.

La cardiode (come tutte le epicicloidi in cui il rapporto tra le due circonferenze è razionale) è anche una curva algebrica quartica ossia di 4° e la sua equazione cartesiana è:

(x² +y²)² - 4rx(x² + y²)-4r²y² = 0 con r≠ 0

La curva è simmetrica rispetto all'asse x e interseca gli assi nei punti (0, 0), (4r, 0), (0, 2r), (0, -2r). La lunghezza della cardioide è uguale a 16r, mentre l'area della regione limitata dalla cardioide è uguale a 6Πr². Questa curva si può ottenere in molti altri modi:

• Come inviluppo di circonferenze:
  
  Tracciamo la circonferenza di raggio r=1 e centro in A (0, 0) nel piano cartesiano. Prendiamo il punto B (-1, 0) e dividiamo la circonferenza in 12 archi uguali segnando i punti C, D, E, F, G, H, I, L, M, N, O. Tracciamo le circonferenze che passano per B e che hanno centro nei punti segnati sulla circonferenza. Tutte queste circonferenze danno luogo a una cardioide con la cuspide nel punto B. Possiamo anche dire che le circonferenze inviluppano la cardioide o che la cardioide è l'inviluppo delle circonferenze. Osservando la cardioide che emerge dall'insieme delle circonferenze possiamo notare che risulta tangente in qualche punto ad ogni circonferenza.

  

  Aumentando il numero delle circonferenze si evidenzia maggiormente la curva.
  
  Con il software GeoGebra possiamo ottenere l'inviluppo delle circonferenze in modo dinamico con la seguente procedura:
  
  -Tracciare i punti A(0,0) e B(1, 0) e la circonferenza di centro in A e raggio 1.
  
  -Generare uno slider α da 0° a 360° con incrementi di 5°.
  
  -Applicare una rotazione al punto B rispetto al punto A con una rotazione α per ottenere il punto C.
  
  -Ottenere il punto D come intersezione tra la circonferenza e l'asse x.
  
  -Tracciare la circonferenza di centro C e passante per il punto D.
  
  -Selezionare traccia attiva di α.

  

• Come inviluppo di segmenti:
  
  Tracciamo la circonferenza di raggio r=1 e centro in A (0, 0) nel piano cartesiano. Prendiamo il punto B (1, 0) e dividiamo la circonferenza in 24 archi uguali segnando i punti 0, 1, 2, ..., 23. Tracciamo i segmenti unendo 1 con 2, 2 con 4, 3 con 6, ..., 11 con 22. Poi uniamo 12 con 0, 13 con 2, 14 con 4, ..., 23 con 21. In pratica ogni punto è unito con il suo doppio nell'aritmetica modulo 24. Tutti questi segmenti essendo tangenti a una cardioide danno luogo a una cardioide. Possiamo anche dire che i segmenti inviluppano la cardioide o che la cardioide è l'inviluppo dei segmenti. Aumentando i punti sulla circonferenza si può evidenziare un inviluppo migliore della curva

  
  

  Con il software GeoGebra possiamo ottenere l'inviluppo dei segmenti in modo dinamico con la seguente procedura:
  
  -Tracciare i punti A(0,0) e B(1, 0) e la circonferenza di centro in A e raggio 1.
  
  -Generare uno slider α da 0° a 360° con incrementi di 5°.
  
  -Applicare una rotazione al punto B rispetto al punto A con una rotazione α per ottenere il punto B'.
  
  -Applicare una rotazione al punto B rispetto al punto A con una rotazione 2 ⋅ α per ottenere il punto B'₁.
  
  -Tracciare il segmento b=B'B'₁.
  
  -Selezionare traccia attiva di b e di α.

  

  Possiamo considerare la circonferenza come uno specchio circolare con una sorgente di luce sulla circonferenza stessa. Un raggio di luce emesso dalla sorgente quando interseca la circonferenza viene riflesso secondo le leggi della riflessione:
  
  il raggio incidende, il raggio riflesso e la normale alla superficie riflettente nel punto di incidenza giacciono tutti nello stesso piano e l'angolo riflettente è uguale all'angolo di incidenza.

  

  Se consideriamo tutti i raggi di luce uscenti dalla sorgente e tutti i raggi riflessi dalla circonferenza questi intersecandosi all'inteno della circonferenza disegnano una curva la cardioide che è detta caustica di riflessione della circonferenza.

  

• Come inviluppo di rette:
  
  Tracciamo la circonferenza di raggio r=1 e centro in A (0, 0) nel piano cartesiano. Prendiamo il punto B (1, 0) e dividiamo la circonferenza in 24 archi uguali segnando i punti 0, 1, 2, ..., 23. Tracciamo le rette unendo 1 con 2, 2 con 4, 3 con 6, ..., 11 con 22. Poi uniamo 12 con 0, 13 con 2, 14 con 4, ..., 23 con 21. In pratica ogni punto è unito con il suo doppio nell'aritmetica modulo 24. Tutte queste rette danno luogo a una cardioide. Aumentando i punti sulla circonferenza si può evidenziare un inviluppo migliore della curva

  
  

  Con il software GeoGebra possiamo ottenere l'inviluppo delle rette in modo dinamico con la procedura precedente tracciando la retta

• Come luogo di punti:
  
  Tracciamo la circonferenza di raggio r=1 e centro in A (0, 0) nel piano cartesiano. Prendiamo i punti B(-1, 0) e C(1,0). Prendiamo sulla circonferenza un punto D e tracciamo la secante BD. Tracciamo la circonferenza con centro in D e raggio R=2. Questa circonferenza interseca in E e F la secante BD. Il luogo tracciato da E e F al variare di D sulla circonferenza è una cicloide.

  
  

  
  

  Con il software GeoGebra possiamo ottenere il luogo in modo dinamico con la seguente procedura:
  
  -Tracciare i punti A(0,0), B(-1, 0), C(1,0) e la circonferenza di centro in A e raggio 1.
  
  -Generare uno slider α da 0° a 360° con incrementi di 0.001°.
  
  -Applicare una rotazione al punto B rispetto al punto A con una rotazione α per ottenere il punto D.
  
  -Tracciare la secante BD.
  
  -Tracciare la circonferenza con centro in D e raggio 2.
  
  -Indicare con E e F i punti di intersezione tra la secante BD e la circonferenza di raggio 2.
  
  -Selezionare traccia attiva di E, F e α.

  
  

• Come podaria di una circonferenza:
  
  Tracciamo la circonferenza di raggio r=1 e centro in A (0, 0) nel piano cartesiano. Prendiamo i punti B(-1, 0) e C(1,0). Prendiamo sulla circonferenza un punto D. Tracciamo la tangente alla circonferenza nel punto D. Tracciamo la retta perpendicolare alla tangente e passante per il punto B e indichiamo con E il loro punto di intersezione. Il luogo tracciato da E al variare delle tangenti alla circonferenza è una cicloide. Il punto B è detto polo, mentre il punto E è il piede delle rette normali alle rette tangenti alla circonferenza passanti per il polo e da ciò deriva il termine podaria.

  
  

  
  

  Con il software GeoGebra possiamo ottenere il luogo in modo dinamico con la seguente procedura:
  
  -Tracciare i punti A(0,0), B(-1, 0), C(1,0) e la circonferenza di centro in A e raggio 1.
  
  -Generare uno slider α da 0° a 360° con incrementi di 0.001176.
  
  -Applicare una rotazione al punto B rispetto al punto A con una rotazione α per ottenere il punto B'.
  
  -Tracciare il raggio AB'.
  
  -Tracciare la retta b perperdicolare a AB' e passante per B'.
  
  -Tracciare la retta d perperdicolare alla retta b e passante per C.
  
  -Indicare con E il punto di intersezione tra le due rette b e d.
  
  -Selezionare traccia attiva di E, e α.