1. Esegui la seguente divisione di un polinomio per un monomio.

   

2. Quale delle seguenti divisioni non è eseguibile nell'insieme dei polinomi?

   

3. Per quali valori di m, n ∈ N l'espressione (10a⁴b⁶ − 4a⁵b³) : (− aⁿb^m) rappresenta un polinomio?

4. Associa a ogni divisione il corrispondente polinomio quoziente.

   

5. Completa le seguenti divisioni tra un polinomio e un monomio.

   

6. Un polinomio diviso per (x − 2) dà quoziente x² + 3x e resto 0. Qual è il polinomio?

7. Un polinomio diviso per (3x − 1) dà quoziente x² + 3x − 2 e resto -2. Qual è il polinomio?

8. In una divisione tra polinomi il dividendo è x⁴ + 3x³ − 7x² − 11x + 5, il quoziente è x² + 3x − 1 e il resto è 7x − 1. Qual è il divisore?

9. Per quale delle seguenti divisioni non si può applicare la regola di Ruffini?

   

10. Determina, mediante la regola di Ruffini, il quoziente e il resto della divisione:

    (x³ + 5x − 6) : (x + 2)

11. Il resto della divisione f(x) : (x - 2) è 1. Quale fra i seguenti polinomi può essere f(x)?

    

12. Il resto della divisione fra il polinomio 3x³ - 2x - 1 e il binomio g(x) è uguale a 7x+5. Quale potrebbe essere g(x)?

    a)x² - 2     b) 3x - 6     c) 7x - 1     d) 5x +1

13. Indica quale, tra i seguenti numeri, è il resto della divisione:

    

    

14. Determina il resto della seguente divisione senza eseguire l'operazione.

    (2x⁴ + 7x³ + 11x² + 16x − 8):(x + 2)

15. Considera il polinomio x⁴ + 4x³ − 7x² − 22x + 24. Quali tra i seguenti numeri, sono zeri di f(x)?

    a) − 3     b) − 2     c) − 1     d) 1     e) 2     f) 3

16. Per quale valore di k la divisione (x² + 3x − 2k):(x − 3) dà resto 0?

17. Il polinomio xⁿ − 1 (con n ∈ N) è divisibile per x + 1:

    1. solo se n è dispari;
    2. per ogni valore di n;
    3. solo se n è pari;
    4. per nessun valore di n.

18. Considera il polinomio:

    8a⁴b³ − 4a³b² + 12a²b⁴ + 2a⁵b⁵.

    Qual è il fattore, di grado più alto, comune ai sui termini?

19. Associa a ogni polinomio la corrispondente scomposizione in fattori.

    

20. Scomponi in fattori il polinomio − 2a³b⁴ + 4a⁵b⁸ − 8a⁶b².

21. Scomponi in fattori, mediante il raccoglimento parziale, il polinomio:

    4xy − 8ax + y² − 2ay

22. Individua, tra i seguenti prodotti, la scomposizione in fattori del polinomio:

    (6x − 5)² − 9x²

    1. (6x − 5)(3x − 5)
    2. (9x − 5)(3x − 5)
    3. (9x − 5)(9x + 5)
    4. (15x − 5)(6x − 5)

23. Considera il trinomio x² − 5x + 6. Qual è la sua scomposizione in fattori?

    a) (x − 3)(x − 2)    b) (x − 3)(x + 2)    c) (x + 3)(x − 2)    d) (x + 3)(x + 2).

24. Per quali valori di k ∈ Z il trinomio x² + kx + 10 può essere scomposto in fattori interi?

25. Scomponi in fattori, mediante la regola di Ruffini, il polinomio:

    x⁴ − x³ − 7x² + x + 6

26. Scomponi il polinomio 4x³ + 8x² + x − 3 in due modi:

    a) in fattori a coefficienti interi    b) in fattori a coefficienti razionali.

27. Un quadrato ha area A(x) = a² − 4ab + 4b² + 9 − 6a + 12b. Qual è la misura del lato? Qual è il suo perimetro?

28. Indica quale tra i seguenti polinomi rappresenta il MCD dei polinomi:

    3ab² + 3ac²;     5b⁴ − 5c⁴

    a) b − c    b) 3a    c) b² + c²    d) 3a(b + c).

29. Indica quale tra i seguenti polinomi rappresenta il mcm dei polinomi:

    4 − x²    3x² + 12 − 12x

    a) 3(x − 2)²(x+2)    b) 3(x − 2)(x+2)    c) 3(x − 2)²    d) x − 2.

30. Determina il MCD e il mcm dei seguenti polinomi:

    x² + 4x − 5    x² − 25    x^{2 + 10x + 25}