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Simmetrie e periodicità di una funzione

Sapere che il grafico di una funzione è simmetrico rispetto all'asse delle y, oppure è simmetrico rispetto all'origine degli assi, oppure presenta una forma che si ripete regolarmente, agevola e semplifica lo studio della funzione. Vediamo perchè.

Simmetria rispetto all'asse delle y.

Osserviamo il grafico di una funzione simmetrico rispetto all'asse delle y.

Come si vede la parte del grafico che si trova a sinistra dell'asse si sovrappone perfettamente alla parte che si trova a destra. Le due parti sono immagini speculari l'una dell'altra e tutti i punti simmetrici hanno ascisse opposte ma stessa ordinata, vale cioè l'uguaglianza:

f(x) = f(-x).

Questa osservazione ci suggerisce che se il grafico di una funzione è simmetrico rispetto all'asse delle y possiamo studiare analiticamente la funzione solo nel semipiano positivo delle ascisse e poi ribaltare il grafico ottenuto nel semipiano negativo, rispetto all'asse y. Come si può stabilire se il grafico di una funzione è simmetrico rispetto all'asse delle y? Basta porre -x al posto di x nella funzione e vedere se la nuova funzione risulta uguale a quella iniziale. Ad esempio:

• Il grafico della funzione

  y = x⁴-2x²+1

  è simmetrico rispetto all'asse delle y perchè se poniamo -x al posto di x
  

  y = (-x)⁴-2(-x)²+1

  ed eseguiamo le operazioni

  y = x⁴-2x²+1

  otteniamo di nuovo la funzione iniziale. Ecco il grafico della funzione che conferma la sua simmetria rispetto all'asse delle y.

  

• Il grafico della funzione
  

  y = x⁴-2x+1

  non è simmetrico rispetto all'asse delle y perchè se poniamo -x al posto di x
  

  y = (-x)⁴-2(-x)+1

  ed eseguiamo le operazioni
  

  y = x⁴+2x+1

  non otteniamo di nuovo la funzione iniziale. Ecco il grafico della funzione che conferma la sua non simmetria rispetto all'asse delle y.

  

Quando il grafico di una funzione è simmetrico rispetto all'asse delle y si dice che la funzione è pari.

Esempi di funzioni elementari pari sono:

y=x², y=x⁴, y=x⁶, y=cos x

Come si vede in una funzione pari la variabile x è presente sempre con esponente pari.

Simmetria rispetto all'origine degli assi.

Osserviamo il grafico di una funzione simmetrico rispetto all'origine degli assi.

Come si vede anche questa volta ci sono due parti del grafico che sono sovrapponibili; per sovrapporle dovremo operare due piegature, una rispetto all'asse delle x, l'altra rispetto all'asse delle y.

Tutti i punti simmetrici hanno sia ascisse sia ordinate opposte, vale cioè l'uguaglianza:

f(-x) = -f(x).

Se il grafico di una funzione è simmetrico rispetto all'origine degli assi possiamo studiare analiticamente la funzione solo nel semipiano positivo delle ascisse e poi ribaltare il grafico ottenuto nel semipiano negativo, rispetto all'origine. Come si può stabilire se il grafico di una funzione è simmetrico rispetto all'origine? Basta porre -x al posto di x nella funzione e vedere se la nuova funzione ha il segno opposto di quella iniziale. Ad esempio:

• Il grafico della funzione

  

  è simmetrico rispetto all'origine degli assi perchè se poniamo -x al posto di x
  

  

  ed eseguiamo le operazioni

  

  otteniamo la funzione iniziale cambiata di segno. Ecco il grafico della funzione che conferma la sua simmetria rispetto all'origine.

  

• Il grafico della funzione
  

  y = x³+2x-1

  non è simmetrico rispetto all'origine perchè se poniamo -x al posto di x

  y = (-x)³+2(-x)-1

  ed eseguiamo le operazioni

  y = -x³-2x-1

  non otteniamo la funzione iniziale con il segno cambiato. Ecco il grafico della funzione che conferma la sua non simmetria rispetto all'origine.

  

Quando il grafico di una funzione è simmetrico rispetto all'origine si dice che la funzione è dispari.

Esempi di funzioni elementari dispari sono:

y = x, y = x^-1, y = x³, y = x⁵, y = sen x

Periodicità di un grafico.

Se la forma del grafico di una funzione si ripete a intervalli regolari possiamo studiarla analiticamente solo nel suo intervallo minimo e poi ripetere il grafico ottenuto negli altri intervalli. Ad esempio, osserviamo il grafico della funzione y=senx:

Come si vede il grafico si ripete a intervalli regolari di 2Π. Quando il grafico di una funzione assume valori che si ripetono a intervalli regolari si dice che la funzione è periodica. La lunghezza dell'intervallo minimo è detto periodo e generalmente si indica con la lettera T. Come si determina il periodo minimo di una fuzione periodica? Bisogna porre:

y = f(x+T) = f(x)

e risolvere l'equazione in funzione di T. Ad esempio, qual è il periodo minimo della funzione sen (2x)? Scriviamo l'equazione:

sen (2(x+T)) = sen 2x

e risolviamo l'equazione rispetto a T

2x+2T = 2x + 2kΠ da cui si ottiene T = kΠ

e ponendo k = 1 ottieniamo il periodo minimo T = Π.

Esempi di funzioni elementari periodiche sono:

y=sen x, y=cos x con periodo T=2Π

y= tg x, y=cotg x con periodo T=Π