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Segno e intersezioni di una funzione con gli assi

Per ricerca del segno di una funzione s'intende determinare per quali valori di x una funzione è nulla oppure assume valori positivi o negativi. Da un punto di vista grafico questo si traduce nel stabilire per quali valori di x la curva taglia l'asse delle x oppure è sopra o sotto l'asse delle x e questo permette di individuare, tra l'altro, quali sono le regioni del piano cartesiano in cui è presente il grafico della funzione. Per avere queste informazioni bisogna stabilire per quali valori di x del dominio si ha:

y = f(x) < 0,     f(x) = 0,     f(x) > 0

Negli intervalli in cui f(x)>0 la curva è situata sopra l'asse delle x, negli intervalli in cui f(x)<0 la curva è sotto l'asse delle x, per i valori di x in cui f(x)=0 la cuva taglia l'asse delle x.

Ad esempio determiniamo il segno della funzione

y = x³-2x²-x+2

Poniamo la funzione maggiore o uguale a zero e risolviamo la disequazione.

x³-2x²-x+2≥ 0

Questa disequazione può essere scomposta nel prodotto di tre polinomi di primo grado in questo modo:

x²(x-2)-(x-2)≥ 0

(x²-1)(x-2)≥ 0

(x-1)(x+1)(x-2)≥ 0

Ora, il primo fattore è positivo se x>1 (e, chiaramente, negativo se x<1, nullo se x=1), il secondo fattore è positivo se x>-1 (e negativo se x<-1, nullo se x=-1), il terzo fattore è positivo se x>2 (e negativo se x<2, nullo se x=2). Ci fa comodo riassumere queste informazioni con uno schema come il seguente dove abbiamo indicato con f1(x), f2(x) ed f3(x) i tre fattori e con f(x) la funzione:

In conclusione la funzione è:

positiva se

-1 < x < 1 oppure x > 2

negativa se

x < -1 oppure 1 < x < 2

nulla se

x=-1 oppure x=1 oppure x=2

Per avere un'idea di come sia l'andamento del grafico della nostra funzione possiamo riportare questi dati su un piano cartesiano evidenziando con un colore le regioni di piano dove non esiste il grafico della funzione

Il grafico della funzione interseca l'asse delle x nei punti x=-1, x=1, x=2 cioè per i valori di x per cui si ha

x³-2x²-x+2=0

Ebbene, i valori di x per cui una funzione vale zero si chiamano zeri della funzione. La nostra funzione interseca anche l'asse della y? Se interseca l'asse delle y questo punto deve avere necessariamente ascissa nulla e quindi possiamo determinarlo ponendo zero al posto di x nella funzione.

y=0³-2(0)²-0+2=0 cioè y=2

La funzione interseca l'asse delle x nei punti (-1; 0), (1; 0) (2; 0) e interseca l'asse delle y nel punto (0; 2).

Ebbene ricordare che se il grafico di una funzione interseca l'asse delle x questo può avvenire più volte in punti distinti, invece se il grafico di una funzione interseca l'asse delle y questo può avvenire una sola volta perchè per definizione di funzioni per ogni valore di x deve corrisponde un solo valore di y.