;

Funzioni

Dati due insiemi A e B, non vuoti, una funzione è una relazione che associa ad ogni elemento di A uno e un solo elemento di B. Possiamo rappresentare graficamente con un diagramma a frecce la funzione che associa ad ogni elemento dell'insieme di partenza A un solo elemento dell'insieme di arrivo B.

Solitamente una funzione viene indicata con una lettera minuscola dell'alfabeto ad esempio f, g, h, ... nel seguente modo:

f: A → B (f è una funzione da A a B)

Se gli elementi di A e B sono numeri reali, il generico elemento di A si indica con x, mentre quello di B si indica con y e la funzione che associa ad ogni x un solo elemento y è detta funzione reale di variabile reale e viene solitamente indicata con un'equazione del tipo:

y = f(x) (che si legge y uguale a effe di x)

dove f(x) è un'espressione analitica nella variabile x detta variabile indipendente perchè può assumere un qualsiasi valore appartente all'insieme A, mentre y è la variabile dipendente perchè il suo valore dipende da quello assunto dalla x. L'insieme dei valori che si possono assegnare alla variabile x affinchè la variabile y assuma valori reali e non perde di significato costituiscono il dominio D della funzione o campo di esistenza C.E. o insieme di definizione della funzione. L'insieme dei valori di y che dipendono dal variare di x nel dominio costituiscono il codominio C o immagine I della funzione.

Una funzione individua un insieme di coppie:

(x, f(x))

al variare di x nel dominio D della funzione, e ad ognuna di queste coppie corrisponde un punto nel piano cartesiano. L'insieme di tali punti formano una curva che prende il nome di grafico della funzione. Il grafico di una funzione ha un ruolo importante perchè permette di vedere a colpo d'occhio la dipendenza di y da x. Ad esempio, se la relazione che lega le due variabili fa corrispondere:

"ad ogni numero reale x il suo quadrato y"

possiamo esprimerla con l'equazione y = x², che ha come dominio l'insieme R dei numeri reali e come immagine l'insieme I costituito dai quadrati dei numeri reali. Questi due insiemi possono essere descritti più brevemente con i simboli:

D = R oppure D = (−∞, +∞) oppure D = {x∈R}; I = {x∈R / x²}

e le coppie (x, x²) generano, nel piano cartesiano, una curva detta parabola.

Possiamo facilmente riconoscere se una curva nel piano cartesiano rappresenti una funzione con il test della retta verticale: se ogni retta verticale interseca la curva in un solo punto allora la curva rappresenta il grafico di una funzione se invece una retta interseca la curva in due o più punti distinti allora la curva non rappresenta una funzione.

Possiamo classificare le funzioni in due gruppi in base al tipo di operazioni che sono presenti nell'espressione analitica:

• Se la variabile indipendente è implicata soltanto nelle operazioni algebriche di addizzione, sottrazione, moltiplicazione, divisioni, elevamento a potenza razionale o estrazione di radice la funzione è detta algebrica.

• Se la variabile indipendente è implicata nelle operazioni trigonometriche, logaritmiche o esponenziali la funzione è detta trascendente.

Un'altra classificazione che divide le funzioni in tre gruppi si basa sul comportamento della funzione rispetto al codominio:

• Se a due elementi del dominio corrispondono due elementi distinti del codominio la funzione è detta iniettiva.
  
  In simboli:

  ∀ x₁, x₂ ∈ A: x₁ ≠ x₂ → f(x₁) ≠ f(x₂)

  Dal punto di vista grafico se una funzione è iniettiva ogni retta orizzontale non può avere piò di un punto d'intersezione con il grafico della funzione.

  

• Se ogni elemento di B è l'immagine di almeno un elemento di A la funzione è detta suriettiva.
  
  In simboli:

  ∀ y ∈ B: ∃ x ∈ A | f(x) = y

  Dal punto di vista grafico se una funzione è suriettiva ogni retta orizzontale deve intersecare il grafico della funzione in almeno un punto.

  

• Se ogni elemento di B è l'immagine di uno e un solo elemento di A la funzione è detta biunivoca o biiettiva.

  Una funzione biiettiva è quindi sia iniettiva sia suriettiva.