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Concavità e flessi

Se il grafico di una funzione, in un certo intervallo, si trova sempre al disopra della tangente si dice che in quell'intervallo la curva è convessa cioè volge la concavità verso l'alto.

Analogamente, se il grafico di una funzione, in un certo intervallo, si trova al disotto della tangente si dice che in qell'intervallo la curva è concava cioè volge la concavità verso il basso.

Se il grafico di una funzione è concava in un intorno sinistro di x₀ e convessa in un intorno destro o viceversa si dice che x₀ è un punto di flesso per la funzione.
Nel punto di flesso si verifica un cambio di concavità e la retta tangente nel punto (x₀; f(x₀)) attraversa il grafico.

Si possono determinare gli intervalli in cui il grafico di una funzione è concava o convessa o ha un punto di flesso studiando il segno della derivata seconda della funzione (che si indica con il simbolo y"=f"(x)):

• Se in un certo intervallo la derivata seconda della funzione è maggiore di zero, il grafico di f(x) è convesso in quell'intervallo.

• Se in un certo intervallo la derivata seconda della funzione è minore di zero, il grafico di f(x) è concavo in quell'intervallo.

• Se in un punto x₀ di un certo intervallo la derivata seconda della funzione è uguale a zero e se f"(x₀) cambia concavità a cavallo di x₀ il grafico di f(x) ha nel punto x₀ un flesso.

Esempio: determiniamo in quali intervalli il grafico della funzione y=x³-2x²+1 è concava o covessa o ha un punto di flesso.

Calcoliamo la derivata prima e la derivata seconda

f'(x)=3x²-4x

f"(x)=6x-4

Esaminiamo il segno della derivata seconda.

Nell'intervallo (2/3, +∞) è f"(x)>0 e la curva è convessa, nell'intervallo (-∞, 2/3) è f"(x)<0 e la curva è concava, per x=2/3 è f"(x)=0 e f"(x) cambia la concavità a cavallo di x=2/3 e quindi x=2/3 è un punto di flesso.

Ora, il punto di flesso puo essere a tangente orizzontale o a tangente obliqua. E' a tangente orizzontale se il punto di flesso è anche un punto stazionario e cioè se la derivata prima si annulla nel punto di flesso, altrimenti è a tangente obliqua. Nel nostro caso la derivata prima non si annulla:

f'(2/3)=2(2/3)²-4(2/3)≠0

e quindi il punto di flesso è a tangente obliqua come si può osservare dal grafico della funzione.

Una considerazione sui punti di flesso: può accadere che alcune funzioni pur avendo f"(x₀)=0 non abbiano in x₀ un punto di flesso.
Ad esempio la funzione y=(x-1)⁴ ha come derivate seconda:

f"(x)=12(x-1)²

che si annulla per x=0. Ma x=0 non è un punto di flesso per la funzione. Infatti, il segno di f"(x) non cambia a cavallo del punto x=0 e la curva rivolge sempre la concavità verso l'alto e quindi x=0 è un punto di minimo. In questi casi bisogna fare attenzione al segno che assume sia la derivata prima che la derivata seconda della funzione in un dato intervallo. In alternativa bisogna ricorrere alle derivate successive e se si verifica che

si hanno i seguenti casi:

• n pari, fⁿ"(x₀)>0, la curva della funzione f(x) è convessa in x₀.

• n pari, fⁿ"(x₀)<0, la curva della funzione f(x) è concava in x₀.

• n dispari, la curva della funzione f(x) ha nel punto A(x₀, f(x₀)) un flesso.