Trovare la soluzione di questo gioco è semplice e può essere ottenuta facilmente procedendo per tentativi ed errori. Vediamo, invece come possiamo ottenerla con un ragionamento più rigoroso.
I numeri contenuti in questo quadrato magico sono 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e la loro somma è 45. Poichè questi numeri vengono posti su tre righe di tre caselle e la somma deve essere la stessa per ogni riga si deduce facilmente che la somma dei numeri presenti su ogni riga deve essere 45 : 3 = 15. Il numero 15 è quindi la somma costante di ogni riga, di ogni colonna e delle due diagonali (questo numero è detto costante magica del quadrato).
Esaminiamo tutte le terne di numeri distinti che danno per somma 15:
1, 9, 5; 1, 6, 8; 2, 8, 5; 2, 9, 4; 2, 7, 6; 3, 7, 5; 3, 4, 8; 4, 6, 5
Possiamo notare che il numero:
1 è presente in 2 terne (1, 9, 5; 1, 6, 8)
2 è presente in 3 terne (2, 8, 5; 2, 9, 4; 2, 7, 6)
3 è presente in 2 terne (3, 7, 5; 3, 4, 8)
4 è presente in 3 terne (2, 9, 4; 3, 4, 8; 4, 6, 5)
5 è presente in 4 terne (1, 9, 5; 2, 8, 5; 3, 7, 5; 4, 6, 5)
6 è presente in 3 terne (1, 6, 8; 2, 7, 6; 4, 6, 5)
7 è presente in 2 terne (2, 7, 6; 3, 7, 5)
8 è presente in 3 terne (1, 6, 8; 2, 8, 5; 3, 4, 8)
9 è presente in 2 terne (1, 9, 5; 2, 9, 4)
Se osserviamo il quadrato suddiviso in nove quadratini possiamo facilmente renderci conto che il numero posto nella casella centrale è quello che deve appartenere contemporaneamente a quattro terne: 1 verticale, 1 orizzontale e 2 diagonali.
E' quindi il 5 che deve stare al centro, dato che è l'unico numero che compare in quattro terne. Inoltre i numeri nelle caselle d'angolo devono appartenere a 3 terne: 1 verticale, 1 orizzontale e 1 diagonale.
Ora, i numeri presenti in tre terne sono il 2, il 4, il 6 e l'8. Se mettiamo il 2 in alto a sinistra e il 4 in alto a destra automaticamente fissiamo anche la posizione dell'8 (in basso a destra) e la posizione del 6 (in basso a sinistra).
A questo punto la soluzione è determinata perchè nella casella vuota tra il 2 e il 4 possiamo mettere solo il 9, nella casella vuota tra il 2 e il 6 possiamo mettere solo il 7, nella casella vuota tra il 6 e l'8 possiamo mettere solo l'1 e nella casella vuota tra l'8 e il 4 possiamo mettere solo il 3.
E' questa l'unica soluzione? No! Esistono otto quadrati magici equivalenti che si possono ottenere uno dall'altro per rotazioni in senso orario di 90°, 180°, 270°, 360° intorno alla casella centrale con centro nel centro della casella centrale
Oppure per ribaltamenti rispetto alle due mediane e alle due diagonali principali del quadrato.
Se osserviamo questi otto quadrati magici equivalenti balza subito agli occhi che nella casella centrale c'è sempre il numero 5, nelle caselle ad angolo c'è sempre un numero pari e nelle caselle centrali dei lati c'è sempre un numero dispari.
