Indichiamo con le lettere a,b,c,d,e,f,g,h,i i numeri da 1 a 9 da inserire nelle caselle vuote come si vede in figura:

Se indichiamo con S la somma costante, il quesito richiede che si verifichi la condizione

a + b + c + d + e + f + g + h + i + e + f = 2S

Cioè:

45 + e + f = 2S

da cui si ha:

La somma e+f deve essere quindi un numero dispari e i probabili valori minimo e massimo di S dipendono dai corrispondenti valori minimi e massimi di e+f.

Se esistono soluzioni con somma 24 e 31, allora queste rappresentano i valori minimi e massimi cercati.

Verifichiamo se esiste una soluzione con S = 24, e = 1, f = 2.

Con pochi tentativi possiamo verificare che:

a+b+c+d = 24 – 3 = 21 = 3+4+5+9 = 3+4+6+8 = 3+5+6+7

e

g+h+i = 24 – 3 = 21 = 6+7+8 = 5+7+9 = 4+8+9

E quindi si hanno le tre soluzioni:

Verifichiamo se esiste una soluzione con S = 31, e = 8, f = 9.

Si verifica che:

a+b+c+d = 31 – 17 = 14 = 1+2+4+7 = 1+2+5+6 = 1+3+4+6 =2+3+4+5

e

g+h+i = 31 – 17 = 14 = 3+5+6 = 3+4+7 = 2+5+7 = 1+6+7

E quindi si hanno le quattro soluzioni: