Indichiamo i nove numeri da inserire nei cerchi con le lettere:
a2, b2, c2, d2, e2, f2, g2, h2, i2
Come si vede in figura e cerchiamo di scoprire quali valori può assumere la somma costante S.
Sommando i numeri presenti sui tre lati del triangolo si ha:
(a2 + b2 + c2 + d2) + (d2 + e2 + f2 + g2) + (g2 + h2 + i2 + a2) = 3S
Tenendo conto di quante volte ciascuna lettera è ripetuta e che la somma dei numeri da 12 a 92 è uguale a 285 si ha:
285 + a2 + d2 + g2 = 3S
Cioè:
Questo significa che a2 + d2 + g2 deve essere un multiplo di 3 e la costante deve essere maggiore di 95. Le terne di numeri quadrati che hanno per somma un multiplo di 3 sono:
32, 62, 92; 12, 42, 72; 22, 52, 82
Infatti:
32+62+92=126; 12+42+72= 66; 22+52+82=93
Ci sono quindi tre possibili valori per la costante S:
Si può verificare che esiste una sola soluzione con costante 126. Infatti, assegnando alle lettere a2, d2, g2 i numeri 22, 52, 82
Dobbiamo poi assegnare alle lettere:
b2, c2, e2, f2, h2, i2
I numeri:
12, 32, 42, 62, 72, 92
in modo che si abbia:
b2 + c2 = 97; e2 + f2 = 37; h2 + i2 = 58
C'è una sola coppia di numeri che ha somma 97 (92+42), una sola coppia di numeri che ha somma 37 (12+62) e una sola coppia di numeri che ha somma 58 (32+72).
