Per ottenere il più piccolo valore dell'espressione bisogna che i tre prodotti abbiano i valori più piccoli e ciò si ottiene ponendo:

c = 1    f = 2    i = 3

Inoltre, bisogna moltiplicare per 1 la più grande somma possibile (9 + 8), per 2 la restante più grande somma possibile (7 + 6) e per 3 la restante somma (5 + 4).

(9 + 8) x 1 + (7 + 6) x 2 + (5 + 4) x 3 = 70

Per ottenere il più grande valore dell'espressione, bisogna che i tre prodotti abbiano i più grandi valori possibili. L'intuizione ci porta a pensare che ciò sia possibile assegnando alle lettere c, f, i, i valori più grandi.

c = 9    f = 8    i = 7

E di moltiplicare per 9 la più grande somma possibile cioè (6 + 5), per 8 la restante più grande somma possibile cioè (4 + 3) e per 7 la restante somma cioè (2 + 1).

(6 + 5) x 9 + (4 + 3) x 8 + (2 + 1) x 7 = 176

E' corretta questa intuizione? E' 176 il più grande valore possibile della nostra espressione? Dei tre prodotti utilizzati nell'espressione analizziamo quello che ha il valore più grande.

(6 + 5) x 9 = 99

E verifichiamo la differenza tra questo prodotto e quello che possiamo ottenere dai maggiori tre numeri disponibili:

(8 + 7) x 9 = 135    135 – 99 = 36

Come si vede la differenza non è di poco conto. Inoltre 135 rappresenta il 76,7% di 176 che è il valore di tutta l'espressione che abbiamo ottenuto precedentemente. Ciò ci incoraggia a proseguire su questa strada e individuare il massimo prodotto ottenibile con i restanti numeri.

(5 + 4) x 6 = 54

La somma 135 + 54 = 189 è già maggiore di 176 e se aggiungiamo il valore massimo ottenibile con i restanti numeri si ha

(8 + 7) x 9 + (5 + 4) x 6 + (2 + 1) x 3 = 198

Questo è il massimo valore ottenibile. E' questa l'unica soluzione? No! Con analoghi ragionamenti si possono trovare altre due soluzioni:

(8 + 6) x 9 + (5 + 4) x 7 + (2 + 1) x 3 = 198

(7 + 6) x 9 + (5 + 4) x 8 + (2 + 1) x 3 = 198