La più piccola somma di tre numeri di tre cifre, utilizzando tutte e una sola volta le cifre da 1 a 9 è:
147 + 258 + 369 = 774
I numeri palindromi di tre cifre maggiori di 774 e minori di 1000 che non contengono la cifra 0 sono 21:
777, 787, 797, 818, 828, 838, 848, 858, 868, 878, 888, 898, 919, 929, 939, 949, 959, 969, 979, 989, 999.
Esiste una regola che ci permette di stabilire subito quali di questi numeri può rappresentare una soluzione del nostro quesito? Sí. Se aggreghiamo tutte le cifre da 1 a 9, ciascuna presa una sola volta per formare tre o più numeri, la loro somma è sempre un numero multiplo di 9. Pertanto, se esiste una soluzione, questa deve essere un numero palindromo multiplo di 9. Tra i 21 numeri palindromi solo 2 sono multipli di 9: 828 e 999. Abbiamo già visto nel quesito precedente le soluzioni per ottenere il numero palindromo 999 vediamo ora come possiamo ottenere il numero 828. Se indichiamo con le lettere a,b,c,d,e,f,g,h,i i numeri da 1 a 9, con abc, def, ghi i tre numeri di tre cifre dobbiamo quindi verificare se esistono soluzioni tali che sia vera l'addizione:
Dobbiamo trovare tre terne di numeri (utilizzando tutti i numeri da 1 e 9) tali che:
(i numeri in rosso sono i riporti) ricordando che la somma totale delle tre colonne deve essere 45. Ci sono 7 terne che hanno per somma 18
1+8+9; 2+7+9; 3+6+9; 4+5+9; 4+6+8; 3+7+8; 5+6+7
due terne che hanno per somma 21
4+8+9; 5+7+9
e una sola terna che ha per somma 6
1+2+3
Possiamo quindi verificare che ci sono solo due possibili combinazioni:
1, 2, 3; 4, 8, 9; 5, 6, 7 oppure 1, 2, 3; 5, 7, 9; 4, 6, 8
Se consideriamo la prima combinazione possiamo formare i tre numeri di tre cifre in questo modo: la cifra delle unità deve essere presa dalla terna 5, 6, 7, la cifra delle decina dalla terna 4, 8, 9 e la cifra delle centinaia dalla terna 1, 2, 3. Ad esempio
197 + 286 + 345 = 828; 246 + 185 + 397 = 828
Possiamo ottenere 432 soluzioni che si riducono a 72 se consideriamo equivalenti le soluzioni in cui cambia solo l'ordine degli addendi.