Indichiamo i numeri da 1 a 9 con le lettere a, b, c, d, e, f, g, h, i e inseriamole nelle caselle come si vede in figura.

Come sappiamo la somma di tutti i numeri da 1 a 9 è uguale a 45 e quindi possiamo scrivere l'uguaglianza:

a + b + c + d + e + f + g + h + i = 45

Se invece consideriamo le somme di ciascuna colonna dell'addizione proposta dal quesito si ha:

(a + d + g) + (b + e + h) + (c + f + i) = 9 + 9 + 9 = 27

Le due uguaglianze pur avendo lo stesso primo membro (tutti i numeri da 1 a 9) non hanno lo stesso risultato e ciò non è possibile. Questo significa che la seconda uguaglianza non è corretta e quindi nell'addizione ci sono colonne che generano un riporto. Se supponiamo che le colonne che generano un riporto siano quella delle unità e quella delle decine possiamo trascrivere la somma delle tre colonne con le tre uguaglianze:

(dove le cifre in rosso rappresentano il riporto). In questo modo anche la somma totale delle tre colonne è uguale a 45 (19+18+9=45). Le terne di numeri distinti che danno:

• somma 19 sono:
  

  2, 8, 9; 3, 7, 9; 4, 6, 9; 4, 7, 8; 5, 6, 8

• somma 18 sono:
  

  1, 8, 9; 2, 7, 9; 3, 6, 9; 3, 7, 8; 4, 5, 9; 4, 6, 8; 5, 6, 7

• somma 8 sono:
  

  1, 2, 5; 1, 3, 4

Dalla combinazione di queste terne possiamo ottenere 1080 soluzioni che si riducono a 180 se consideriamo equivalenti le soluzioni in cui cambia solo l'ordine degli addendi. Ecco ad esempio due soluzioni: