Indichiamo i numeri da 1 a 9 con le lettere a, b, c, d, e, f, g, h, i e inseriamole nelle caselle come si vede in figura.

Se supponiamo che in questa addizione non ci siano riporti possiamo trascrivere la somma di ciascuna delle tre colonne con le tre uguaglianze:

c + f = i;     b + e = h;     a + d = g

Sapendo che la somma di tutti i numeri da 1 a 9 è uguale a 45 possiamo scrivere l'uguaglianza:

a + b + c + d + e + f + g + h + i = 45

Sostituendo le tre uguaglianze delle colonne nella somma di tutti i numeri da 1 a 9 si ha:

g + i + h + g + h + i = 45

Cioè:

2(g + i + h) = 45

Quest'ultima uguaglianza è impossibile perchè il primo membro è sempre pari e non può essere uguale a 45 che è un numero dispari. Questo significa che non era vera la nostra ipotesi iniziale e quindi c'è almeno una colonna della somma che ha un riporto. Se è la prima colonna a destra, quella delle unità, che genera il riporto possiamo trascrivere la somma delle tre colonne con le tre uguaglianze:

c + f = i + 10;     b + e = h - 1;     a + d = g

Sostituendo queste tre uguaglianze nella somma di tutti i numeri da 1 a 9 si ha:

g + i + h + g + h + i + 9 = 45

Cioè:

g + i + h = 18

(verificate che si ottiene g + i + h = 18 anche se è la seconda colonna, quella delle decine, che genera il riporto).

Ora, il più grande numero di tre cifre con tre diverse cifre e con la somma delle cifre uguale a 18 è 981. Possiamo allora porre g = 9, i = 8, h = 1.

Con le restanti cifre (2, 3, 4, 5, 6, 7) le coppie di numeri che hanno per somma 11 sono 4 e 7 oppure 5 e 6, quelle che hanno per somma 7 sono 2 e 5 oppure 3 e 4, quelle che hanno per somma 9 sono 2 e 7 oppure 3 e 6 oppure 4 e 5. Dalla combinazione di queste coppie possiamo ottenere sedici soluzioni che si riducono a otto se consideriamo equivalenti le soluzioni in cui cambia solo l'ordine degli addendi: