Consideriamo la figura:

Il diametro del cerchio più è uguale a 2 ma è anche uguale a quattro volte il raggio r dei cerchi più piccoli più una lunghezza x (distanza tra due cerchi piccoli non tangenti), cioè:

4r + x = 2

Il quadrato EFGH ha il lato EF=2r e la diagonale HF=2r√2. Ma la diagonale HF è anche uguale a 2r+x e quindi possiamo scrivere:

2r + x = 2r√2

Risolvendo, rispetto a x la prima e la seconda uguaglianza si ha:

x = 2 - 4r;     x = 2r√2 - 2r

E quindi:

2 - 4r = 2r√2 - 2r

E risolvendo rispetto a r si ottiene:

r = √2 - 1

Pertanto la lunghezza del lato del quadrato EFGH è:

EF = 2√2 - 2

Ora, la parte colorata si ottiene sottraendo dall'area del quadrato EFGH i quattro settori circolari sottesi da angoli retti che insieme formano un cerchio di raggio r = √2 - 1.