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Modello trigonometrico

Il termine trigonometria deriva dal greco, dall'unione delle parole trigonos (triangolo) e metron (misura), e indica il suo originario campo d'azione: lo studio e la misura degli elementi di un triangolo. In antico, questo studio era fondamentale per gli astronomi, che lo utilizzavano per determinare le relazioni geometriche fra la Terra, il Sole e la Luna. Aristarco di Samo, vissuto nel III secolo a.C. osservò che quando la Luna, la Terra e il Sole occupano i vertici di un triangolo rettangolo come si vede in figura:

Misurando l'angolo α è possibile calcolare il rapporto fra la distanza Terra-Luna e il rapporto fra la distanza Terra-Sole utilizzando le seguenti relazioni trigonometriche:

Con gli attuali strumenti di misura l'ampiezza dell'angolo α risulta 89°51' e con il procedimento di Aristarco si può stabilire correttamente che il Sole è lontano dalla Terra 382 volte più della Luna.

Oggi il modello trigonometrico, basato sulle funzioni seno, coseno e tangente, è uno degli strumenti più efficaci per analizzare fenomeni periodici o ondulatori, cioè grandezze che oscillano, vibrano o si ripetono ciclicamente. La sua forza sta nel fatto che permette di descrivere con formule semplici comportamenti complessi, presenti in ambiti molto diversi: dall'astronomia all'acustica, dalla topografia all'ottica, fino all'elettronica.

Molte curve chiuse e ripetitive possono essere rappresentate tramite funzioni trigonometriche elementari, come ad esempio:

• Circonferenza di raggio r;
• Ellisse con semiassi a e b;

• Asteroide una curva piana definita da equazioni parametriche trigonometriche.

  

Allo stesso modo, numerosi fenomeni naturali e artificiali mostrano una sorprendente regolarità nel tempo: questa ripetizione, più o meno precisa, prende il nome di periodicità. Vediamo alcuni esempi:

• Moto armonico semplice

  Il moto armonico è uno dei concetti fondamentali della fisica perchè permette di descrivere un'enorme varietà di fenomeni naturali e tecnologici. E' il mattone base di tutto ciò che oscilla, vibra, ondeggia o si ripete nel tempo.

  ll moto armonico semplice (MAS) è un moto oscillatorio in cui una grandezza fisica (posizione, carica, pressione …) varia nel tempo seguendo una legge cosinusoidale o sinusoidale. Per comprenderlo in modo intuitivo, consideriamo il suo modello più semplice.

  Immaginiamo una particella P che si muove con velocità angolare costante w su una circonferenza di raggio A. Tracciamo un asse orizzontale x che passa per il centro della circonferenza e consideriamo la proiezione del punto P su questo asse: chiamiamola Q.

  Durante il moto circolare uniforme di P, la proiezione Q oscilla avanti e indietro lungo l'asse x spostandosi tra -A e +A. Questa oscillazione è proprio un moto armonico.

  

  In ogni istante, la posizione della proiezione Q sull'asse x è:

  x = Acos α

  Poichè l'angolo α cresce nel tempo con legge:

  α = wt

  sostituendo otteniamo la forma standard della legge oraria del moto armonico semplice:

  x(t) = Acos (wt)

  Quando la particella P compie un giro completo l'angolo spazzato è 2Π. Il tempo necessario per compiere un giro completo è il periodo, indicato con T. Dalla definizione di velocità angolare si ha:

  

  La legge oraria precedente descrive il caso in cui all'istante iniziale t₀=0 l'angolo iniziale è α₀=0. In generale se la particella parte con un angolo iniziale diverso da zero, la legge oraria diventa:

  oppure sostituendo w:

  

  dove:

  • A è l'ampiezza: la distanza massima dal centro dell'oscillazione;
  • T è il periodo: il tempo necessario per completare un’oscillazione;
  • w è la pulsazione: indica quanto velocemente avviene l’oscillazione;
  • φ è la fase iniziale: determina la posizione del sistema al tempo t = 0.

  La legge oraria del moto armonico semplice può essere rappresentata con il grafico:

  Il grafico generato, con GeoGebra, mostra come varia nel tempo la posizione x(t) di un punto che compie un moto armonico semplice. Gli slider permettono di osservare l'effetto dei tre parametri fondamentali:

  • Ampiezza A

    L’ampiezza determina quanto lontano il punto si sposta dal centro dell’oscillazione.

    • Aumentando A, l'onda diventa più alta: il punto oscilla tra +A e -A;
    • Diminuendo A, l’oscillazione si schiaccia verso l'asse orizzontale.

    In pratica, A controlla la dimensione verticale dell'onda.

  • Periodo T

    Il periodo è il tempo necessario per completare un'oscillazione. Modificando T cambia la pulsazione w=2Π/T.

    • Se T aumenta, l'oscillazione diventa più lenta: l'onda si allarga orizzontalmente.

    • Se T diminuisce, l'oscillazione diventa più rapida: l'onda si stringe.

    Il periodo controlla la frequenza con cui l'onda si ripete.

  • Fase iniziale φ

    La fase iniziale determina da quale punto dell’oscillazione parte il moto al tempo t = 0.

    • Variando φ, l'intero grafico si sposta orizzontalmente.
    • Con φ = 0 il moto parte dal valore x(0) = A.
    • Con φ = Π/2 il moto parte dal valore x(0) = 0.
    • Con φ = Π il moto parte dal valore x(0) = -A.

    La fase iniziale controlla il punto di partenza dell'oscillazione.

Oscillazione e misurazione del tempo: Pendolo semplice

Il pendolo semplice è uno dei modelli fondamentali nello studio degli oscillatori meccanici. È costituito da una massa m sospesa a un filo inestensibile di lunghezza l, fissato a un punto fisso. Il moto avviene in un piano verticale e, in assenza di attrito, è governato esclusivamente dalla forza peso mg.

La posizione di equilibrio stabile è quella in cui la massa si trova nel punto più basso. Se il pendolo viene spostato in una posizione iniziale e lasciato libero, oscilla lungo un arco di circonferenza di raggio l. Le forze che agiscono sulla massa sono la forza di gravità mg e la tensione T del filo. La forza peso può essere scomposta in due componenti ortogonali:

• F₁=mgcosα bilanciata dalla tensione del filo;

• F₂=mgsinα diretta verso la posizione di equilibrio e responsabile del moto: è la forza di richiamo.

Per piccoli angoli (α < 10°) vale l'approssimazione:

e quindi:

Poichè α = s/l, dove s è lo lo spostamento lungo l'arco, si ottiene:

La forza di richiamo risulta quindi proporzionale allo spostamento, proprio come nel moto armonico semplice. Da questa relazione si ricava che il periodo T del pendolo per piccole oscillazioni è:

Questa formula mostra che il periodo dipende dalla lunghezza del filo e dall'accelerazione di gravità, ma non dipende dalla massa nè dall'ampiezza dell'oscillazione (purchè piccola). Questa proprietà, detta isocronismo, ha reso il pendolo uno strumento ideale per la misura del tempo, portando alla costruzione degli orologi a pendolo.

Nella realtà, però, nessun pendolo oscilla per sempre. L'attrito dell'aria e le resistenze interne smorzano il movimento, riducendo lentamente l'ampiezza delle oscillazioni. Questo è il pendolo smorzato: un sistema che perde energia nel tempo e che, se non interviene alcuna forza esterna, finisce per fermarsi.

Il quadro cambia completamente quando al pendolo viene applicata una forza periodica esterna, come una spinta ritmica o una sollecitazione meccanica. Nasce cosí il pendolo forzato, un sistema che riceve energia dall'esterno e che può oscillare in modi molto diversi rispetto al pendolo semplice. Se la frequenza della forza esterna è vicina a quella naturale del pendolo, si verifica la risonanza: l'ampiezza cresce rapidamente e il sistema risponde con oscillazioni molto più ampie di quelle iniziali. E' lo stesso principio che permette a un'altalena di salire sempre più in alto con spinte regolari.

Il pendolo forzato è un modello fondamentale perchè mostra come un sistema semplice possa generare comportamenti complessi: oscillazioni amplificate, oscillazioni irregolari e, in certi casi, persino dinamiche caotiche. Per questo motivo è utilizzato per studiare vibrazioni di strutture, funzionamento di macchinari, fenomeni acustici e molte altre situazioni in cui una sollecitazione esterna modifica profondamente il comportamento di un oscillatore.

Oscillazione e misura dell'onda sismica: Sistema massa-molla

Dopo aver analizzato il moto armonico semplice attraverso il moto circolare uniforme e il pendolo, possiamo vedere come lo stesso modello matematico descriva anche il comportamento di un sistema massa–molla.

Consideriamo un oggetto di massa m collegato a una molla di costante elastica k come si vede in figura:

Nella posizione iniziale il sistema è in equilibrio stabile: la molla non è nè compressa nè allungata e la forza elastica è nulla. Se spostiamo la massa verso destra, la molla si allunga di un tratto x. Nel momento in cui lasciamo libera la massa, la molla esercita una forza di richiamo diretta verso la posizione di equilibrio. Se l'attrito è trascurabile, la massa inizia a oscillare avanti e indietro tra i valori -x e +x.

Il moto generato dalla forza elastica è un moto armonico semplice: proprio come nel pendolo o nella proiezione del moto circolare, la posizione della massa varia nel tempo secondo una legge trigonometrica sinusoidale. Cambia la situazione fisica, ma la logica è la stessa e il modello matematico rimane identico.

• Dal moto armonico al sismografo

  Il principio del moto armonico è stato utilizzato per costruire uno strumento fondamentale della geofisica: il sismografo. In questo dispositivo una massa è sospesa tramite un filo (pendolo) oppure collegata a una molla (sistema massa–molla). Quando il suolo si muove durante un terremoto, la massa tende a rimanere ferma per inerzia, mentre il supporto che la sostiene si muove con il terreno.

  Questa differenza di movimento viene registrata su un supporto, producendo un grafico chiamato sismogramma, che rappresenta l'oscillazione del suolo nel tempo.

  
• Un’applicazione quotidiana: gli ammortizzatori

  Il sistema massa–molla è presente anche in molte tecnologie di uso comune. Un esempio sono gli ammortizzatori delle automobili, che combinano molle e fluidi per smorzare le oscillazioni causate dalle irregolarità della strada. In questo modo si riduce il movimento oscillatorio delle ruote e si migliora il comfort di guida.

Vibrazioni e suono: Strumenti musicali

Quando un diapason viene percosso, le sue due punte iniziano a vibrare. Questa vibrazione è estremamente regolare: le punte oscillano avanti e indietro seguendo un moto armonico semplice, proprio come un pendolo o una molla ideale.

La vibrazione del diapason mette in movimento l'aria circostante. Le particelle d'aria vengono compresse e poi rarefatte in modo ciclico, creando una sequenza ordinata di variazioni di pressione. Queste variazioni si propagano nello spazio come un'onda sonora e raggiungono il nostro orecchio, dove il timpano si mette a vibrare con lo stesso ritmo. E' cosí che percepiamo il suono.

Il diapason è uno strumento speciale: le sue vibrazioni sono cosí stabili e regolari da produrre un suono puro, praticamente privo di armoniche. La frequenza è fissa (tipicamente 440 Hz, il La di riferimento), e questo lo rende ideale per esperimenti di acustica.

Per mostrare che il suono è davvero una vibrazione periodica, possiamo avvicinare al diapason un microfono collegato a un oscilloscopio.

• Il microfono trasforma le variazioni di pressione dell'aria in un segnale elettrico.

• L'oscilloscopio rappresenta quel segnale come una curva che varia nel tempo.

Sul display appare una sinusoide quasi perfetta, la firma visiva del moto armonico semplice.

La vibrazione del diapason può essere descritta matematicamente da una funzione trigonometrica:

y(t) = Asin(2Πft + φ)

dove:

• A è l'ampiezza dell'oscillazione (quanto l'aria si sposta dalla posizione di equilibrio),

• t è il tempo.

• f è la frequenza, cioè il numero di oscillazioni al secondo, legata al periodo dalla relazione f=1/T.

• φ è la fase iniziale, che indica in che punto dell'oscillazione ci troviamo al tempo t=0.

Questa equazione non è solo matematica è la rappresentazione del movimento che vediamo sullo schermo dell'oscilloscopio e del suono che ascoltiamo.

Il diapason è solo uno dei tanti oggetti che vibrano producendo onde sonore. Lo stesso principio vale per tutti gli strumenti musicali, anche se ciascuno lo realizza in modo diverso. Quando pizzichiamo una corda di chitarra o sfioriamo una corda di violino con l'archetto, la corda si mette a vibrare proprio come il diapason: si incurva, torna indietro, supera la posizione di equilibrio e continua a oscillare. Questa oscillazione mette in movimento l'aria circostante e genera il suono che ascoltiamo.

Le corde, però, hanno una caratteristica fondamentale:

• vibrano con molte frequenze contemporaneamente (armoniche);
• producono un suono più ricco e complesso;
• trasferiscono la vibrazione alla cassa armonica, che amplifica il suono.

Cerchiamo di capire cosa vuol dire vibrano con molte frequenze contemporaneamente?

Una corda non produce una sola oscillazione semplice, ma una combinazione di tante oscillazioni sinusoidali pure. Il nostro orecchio non le percepisce separatamente: sente la loro somma, che dà origine al timbro caratteristico dello strumento.

Per capire questo fenomeno, immaginiamo che una corda produca contemporaneamente due oscillazioni pure:

y₁(t) = 2sin(t)

y₂(t) = 1/2sin(2t)

Queste due onde si sovrappongono e il risultato è una nuova oscillazione:

y₃(t) = y₁(t) + y₂(t) = 2sin(t) + 1/2sin(2t)

Il grafico mostra le due sinusoidi pure e la loro somma.

Come si vede, la forma finale non è una sinusoide perfetta: è più complessa, perchè le due oscillazioni si combinano, a volte rafforzandosi, a volte attenuandosi. E' proprio questa combinazione di frequenze che rende il suono di una corda più ricco rispetto al tono puro di un diapason.

Negli strumenti a fiato, non è un oggetto solido a vibrare, ma l'aria stessa. Il musicista mette in oscillazione la colonna d'aria interna allo strumento. il fenomeno è sempre lo stesso: un'oscillazione periodica che mette in movimento l'aria e diventa suono. La fisica è la stessa: una vibrazione regolare che si può descrivere con le stesse funzioni trigonometriche del moto armonico semplice.

Lo studio delle onde sonore permette di comprendere fenomeni naturali come l'eco, progettare strumenti musicali, costruire edifici con buona acustica e sviluppare tecnologie avanzate come sonar ed ecografie. Sono uno dei più chiari esempi di fenomeni ondulatori periodici presenti nella vita quotidiana.

Oscillazione e corrente elettrica

Cellulare e phon funzionano entrambi grazie all'elettricità, ma utilizzano due tipi diversi di corrente.

Il cellulare usa corrente continua (CC): gli elettroni scorrono sempre nella stessa direzione, senza oscillazioni. E' un flusso stabile e regolare, tipico delle batterie, dei pannelli solari e dei circuiti elettronici interni.

Il phon, invece, usa corrente alternata (CA): gli elettroni non avanzano sempre nello stesso verso, ma oscillano avanti e indietro molte volte al secondo, come un pendolo. In Europa questa oscillazione avviene 50 volte al secondo (50 Hz), negli Stati Uniti 60 volte al secondo (60 Hz). La corrente alternata è prodotta dagli alternatori delle centrali elettriche ed è quella che arriva nelle nostre case tramite le prese.

Quando gli elettroni si muovono lungo un percorso chiuso e tornano al punto di partenza, si parla di circuito elettrico. Il circuito più semplice, sia in CC sia in CA, è composto da un generatore (batteria o alternatore), un conduttore, un interruttore e una resistenza, per esempio una lampadina.

Se l'interruttore è aperto, il circuito è interrotto e la lampadina rimane spenta. Se è chiuso, gli elettroni scorrono e la lampadina si accende.

Nel circuito in corrente continua, l'intensità I (la quantità di carica che attraversa il conduttore in un secondo) e la tensione V (la spinta che muove gli elettroni) rimangono costanti nel tempo:

I(t) = I₀

V(t) = V₀

Il loro grafico nel tempo è una retta orizzontale.

Nel circuito in corrente alternata, invece, intensità e tensione variano nel tempo seguendo una legge sinusoidale:

I(t) = I_maxsin(wt)

V(t) = V_maxsin(wt)

Il grafico è una sinusoide.

Ecco ad esempio un circuito in CC e un circuito in CA e i relativi grafici della tensione.

Questa differenza non è casuale: dipende dal tipo di dispositivi.

Il cellulare contiene circuiti elettronici delicati (processore, memoria, schermo) che richiedono una tensione stabile. Per questo usa la corrente continua. Quando lo ricarichiamo, il caricatore trasforma la corrente alternata della presa in corrente continua grazie a un convertitore CA/CC.

Il phon, al contrario, contiene un motore e una resistenza che devono scaldarsi e muovere aria: componenti robusti che funzionano perfettamente con la corrente alternata.

Perchè nelle nostre case si usa la corrente alternata?

• Si trasporta meglio: le linee elettriche perdono energia sotto forma di calore. Per ridurre le perdite si aumenta la tensione e si riduce la corrente. Con i trasformatori, la CA può essere portata facilmente a tensioni molto elevate. La CC richiede apparecchiature elettroniche costose.

• E' facile da generare: gli alternatori delle centrali producono naturalmente corrente alternata.

Per questi motivi la CA è diventata lo standard mondiale per la distribuzione dell'energia.

Spesso però CC e CA lavorano insieme. Un esempio sono le auto elettriche:

• le batterie immagazzinano solo corrente continua;

• il motore funziona meglio in corrente alternata, perchè è più efficiente e richiede meno manutenzione.

Per questo la corrente continua delle batterie viene trasformata in corrente alternata da un dispositivo chiamato inverter, che alimenta il motore.