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Modello logistico
Il modello logistico è detto modello malthusiano perchè l'economista Thomas Robert Malthus (1766-1834) fu il primo a proporlo per descrive l'evoluzione demografica di una popolazione. Nel 1798 Malthus pubblicò un saggio di sociologia dal titolo Saggio sul principio della popolazione nel quale descrisse un modello di crescita esponenziale per la popolazione inglese e un modello di crescita lineare per le risorse alimentari a disposizione del popolo inglese. Secondo Malthus questa disparità tra i due modelli causerebbe l'esaurimento delle risorse alimentari dopo un breve periodo e farebbe innescare una lotta per la sopravvivenza in cui solo gli individui più forti potrebbero prevalere. Il modello esponenziale applicato a una popolazione di individui è un modello di crescita illimitata che suppone un mondo ideale dove:
La popolazione è isolata e quindi non soggetta a immigrazione o emigrazione degli individui.
Il tasso di crescita degli individui dipende esclusivamente dalla differenza tra il numero delle nascite e il numero dei morti e si mantiene costante nel tempo.
Lo spazio, le risorse alimentari e energetiche sono inesauribili.
La popolazione è omogenea, le risorse sono equamente suddivise e non c'è competizioni tra gli individui.
Queste ipotesi pur non essendo realistiche in natura per una popolazione complessa, possono essere realizzate in laboratorio per alcuni microrganismi molto semplici. Tuttavia questo modello di crescita, fornisce per periodi di tempo sufficientemente limitati, una prima approssimazione nel caso in cui una piccola popolazione è all'inizio della sua crescita e disponga sufficiente spazio e risorse abbondanti. Per Charles Darwin (1809-1882) gli essere viventi producono molti più figli rispetto alle risorse alimentari ma la crescita esponenziale della popolazione viene limitata dalle avversità dell'ambiente per cui solo gli individui più adatti all'ambiente riescono a sopravvivere. Questa teoria fu chiamata da Darwin selezione naturale. All'epoca il modello malthusiano fu molto criticato per le sue conclusioni ma bisogna dare merito a Malthus per aver posto, duecento anni fa, il problema dell'espansione demografica della popolazione umana.
Nel 1838 il matematico belga Pierre Francois Verhulst (1804-1849), considerando che l'espansione di una popolazione non può essere illimitata a causa sia della disponibilità finita di risorse alimentari sia di altri fattori che dipendono dalle avversità dell'ambiente, sviluppò un nuovo modello per descrivere la crescita di una popolazione chiamato modello logistico. Questo modello ha lo scopo di mettere in relazione la popolazione e l’ambiente con cui essa è a contatto e quindi prevede, per la crescita demografica di una popolazione, un inizio a crescita esponenziale (avendo a disposizione abbondante cibo e spazio) poi un rallentamento con una crescita lineare e infine un ulteriore rallentamento fino a raggiungere un limite massimo di crescita che rimarrà quasi costante dove viene raggiunto un equilibrio fra la popolazione e le risorse dell'ambiente. La formula utilizzata da Verhulst per descrivere questo modello è:
dove N è il numero della popolazione al tempo t, No è il numero della popolazione iniziale, α è il tasso di crescita, t è il tempo preso in considerazione e k rappresenta il limite massimo di crescita della popolazione che dipende dalle avversità dell'ambiente. La rappresentazione grafica del modello è una curva che ha un andamento ad S detto andamento sigmoide.
Come si vede, la curva si avvicina sempre di più al valore di k senza mai raggingerlo qualunque sia il valore iniziale della popolazione. In questi casi si dice che la retta y=k è un asintoto della curva e la curva tende asintoticamente al valore di k.
La curva logistica è utilizzata anche per monitorare l'andamento di una epidemia. Per epidemia s'intende una malattia infettiva che si diffonde rapidamente per contaggio fino a colpire un gran numero di persone in più continenti o in tutto il mondo e in grado di causare un numero molto alto di morti e malati. Il 31 dicembre 2019 le autorità sanitarie cinesi hanno riferito che nella città di Wuhan si era sviluppato un focolaio epidemico di casi di polmonite atipica e in poco tempo questa epidemia si è rapidamente diffusa in tutto il mondo provocando milioni di vittime. Si è scoperto che questa pandemia è causata da un virus denominato Sars-CoV-2 ma più noto con il nome COVID-19.
Oltre alla vaccinazione, per diminuire le occasioni di contagio sono state emanate numerose misure restrittive tra le quali: la quarantena per i contagiati, l'uso della mascherina, chiusura al pubblico degli stadi, chiusura delle discoteche dei teatri e delle sale da cinema, chiusura delle scuole e didattica a distanza, mantenimento della distanza tra le persone, ecc. Per comprendere l'andamento della pandemia gli epidemiologi raccolgono, ogni giorno, i dati relativi alle persone positive al virus (guariti, ammalati, morti) e con questi dati costruiscono il grafico della curva dei contagi. Come è stato detto questa curva, in via teorica, presenta all'inizio un andamento esponenziale (il numero dei contaggi ha una crescita geometrica). Dopo un certo numero di giorni la curva presenta un flesso (la concavità rivolta verso l'alto si trasforma in concavità rivolta verso il basso) e ciò è dovuto al fatto che il numero dei contagi continua ad aumentare ma più lentamente. Infine, la curva diventa asintotica, il numero dei contagiati non crescerà più e ciò vuol dire che la diffusione della malattia è in via di esaurimento. Ora, studiando la curva dei contagi giorno per giono si può comprendere lo stato della pandemia e se le misure restrittive e la vaccinazione della popolazione stanno avendo un effetto positivo sul rallentamento dell'epidemia e quindi dare un senso alle misure restrittive che la popolazione è costretta a rispettare.
Il modello logistico trova applicazione anche in altri ambiti diversi dalla crescita di una popolazione. Ad esempio:
Titolazione di un acido forte con una base forte o viceversa.
In chimica per titolazione s'intende determinare la concentrazione di una sostanza detta soluto presente in una soluzione. Supponiamo di voler titolare la concentrazione di una soluzione di acido cloridrico (HCl) mediante una soluzione a concentrazione nota di idrossido di sodio (NaOH). La soluzione di acido insieme a tre gocce di fenolftaleina (un indicatore di pH) viene messa in una beuta mentre la soluzione di idrossido di sodio viene messa in una buretta graduata posta sopra la beuta.
L'indicatore, in ambiente acido è incolore come la soluzione di acido cloridrico. Tramite il rubinetto della buretta si aggiunge gradualmente l'idrossido nella beuta. All'inizio, nella beuta il pH è molto basso per la presenza dell'acido ma, con l'aggiunta della base il pH dapprima aumenta molto lentamente poi in vicinanza del punto neutro vi è un brusco innalzamento di pH e aggiungendo anche una goccia di base il pH aumenta notevolmente fino a raggiungere un valore stazionario.
Ora, appena il pH della soluzione contenuta nella beuta diventa leggermente basico il colore dell'indicatore diventa rosso e quindi si smette di aggiungere l'idrossido nella beuta.
Conoscendo la quantità di idrossido aggiunto nella beuta si risale alla concentrazione dell'acido tenendo presente la reazione:
2HCl + 2NaOH → 2NaCl + 2H2O
Nelle reazioni chimiche autocataliche.
E' bene ricordare che un catalizzatore è una sostanza in grado di aumentare notevolmente la velocità di una reazione chimica rimanendo inalterato alla fine della reazione. Le reazioni autocatalitiche sono quelle reazioni nelle quali il catalizzatore è uno dei prodotti della reazione o un prodotto intermedio della reazione in grado di aumentare la velocità della reazione, comportandosi come un vero e proprio catalizzatore. Ad esempio, nella reazione di ossidazione dell'acido ossalico con permanganato di potassio in ambiente acido:2KMnO4 + 3H2SO4 → 2MnSO4 + K2SO4 + 8H2O + 10CO2
Il catalizzatore della reazione è lo ione Mn++ che all'inizio della reazione non c'è ne deriva che la reazione procede lentamente, quando lo ione Mn++ inizia a formarsi dalla dissociazione del solfato di manganese (prodotto della reazione) la velocità di reazione aumenta in modo significativo per rallentare nuovamente quando la concentrazione dell'ossalato è prossima all'esaurimento.
Crescita di un'impresa.
Le imprese innovative ad esempio quelle tecnologiche o farmaceutiche in grado di immettere sul mercato un nuovo prodotto possono beneficiare di una crescita di tipo logistico. All'inizio c'è una grande richiesta del nuovo prodotto e l'impresa ne beneficia con un periodo di grande crescita, poi subentra una fase in cui le vendite diminuiscono per la presenza di prodotti simili immessi sul mercato dalle imprese concorrenti e infine una nuova fase in cui le vendite rimangono stazionarie perchè il mercato si sta saturando.