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Modello logaritmico
Il merito di aver introdotto i logaritmi fu del matematico scozzese John Napier (1550–1617) nome italianizzato in Giovanni Nepero. L'idea dei logaritmi nasce in Nepero dall'esigenza di rendere più semplice lo svolgimento di calcoli di una certa complessità come le moltiplicazioni e le divisioni tra numeri molto grandi. Con la sua invenzione Nepero riuscí a trasformare l'elevamento a potenza e l'estrazione di radice in moltiplicazione e divisione e queste ultime in addizione e sottrazione e come si sà è più facile sommare e sottrarre che moltiplicare e dividere. Il logaritmo rappresenta l'operazione inversa dell'elevamento a potenza che permette di determinare l'esponente conoscendo la potenza e la base. Ad esempio, l'equazione:
2x = 32
Con i logaritmi diventa
x = log2 32
Cioè:
x è l'esponente che bisogna dare alla base 2 del logaritmo per ottenere 32.E come sappiamo x = 5 perchè 25=32 e log2 32 = 5 perchè
log2 25 = 5
In generale con la scrittura:
x = loga b
(si legge x è uguale al logaritmo in base a di b). Si intende determinare l'esponente che bisogna dare alla base a del logaritmo per ottenere l'argomento b con la condizione:
a > 0, a ≠ 1, b > 0
Le proprietà dei logaritmi che permettono di facilitare i calcoli sono:
Nepero pubblicò la sua idea nel 1614, nella sua opera Mirifici logarithmorum canonis descriptio scegliendo come base dei logaritmi la costante numerica 1/e. I logaritmi in base e vengono detti, in suo onore, logaritmi naturali o neperiani e indicati con la notazione ln x (si omette la base). Nel 1615 il matematico Henry Briggs (1561-1639) accolse favorelmente l'invenzione dei logaritmi e insieme a Nepero decise di utilizzare, per semplificare i calcoli, come base dei logaritmi il numero 10 detti logaritmi decimali o di Briggs e indicati con la notazione log x (anche in questo caso si omette la base). Ad esempio:
Naturalmente, come base di un logaritmo è possibile prendere qualunque numero maggiore di zero e diverso da 1 e si possono calcolare i logaritmi di tutti i numeri positivi.
Briggs sapendo che tutti i numeri positivi possono essere rappresentati tramite una potenza di 10:
2 = 100,301029; 3 = 100,477121; 4 = 100,602059; 5 = 100,698970 ...
allora è anche possibile rappresentare tutti i numeri positivi tramite un logaritmo in base 10:
log 2 = 0,301029; log 3 = 0,477121; log 4 = 0,602059; log 5 = 0,698970 ...
nel 1617 pubblicò la tavola dei logaritmi dei numeri da 1 a 1000 e successivamente furono realizzate tavole dei logaritmi fino a 100.000. Vediamo con un esempio molto banale come si esegue una moltiplicazione utilizzando le tavole dei logaritmi di Briggs (la procedura è la stessa anche per moltiplicazioni molto più complicate). Supponiamo di voler conoscere il prodotto 2 ⋅ 3.
Dalla tavola dei logaritmi troviamo i valori di log 2 e log 3 e la loro somma rappresenta l'esponente della potenza con base 10 e conoscendo l'esponente e la base si può determinare il valore della potenza cioè x utilizzando la tavola dei logaritmi inversi.
Il metodo di calcolo con i logaritmi ebbe un grande successo in tutta Europa e fu, per quel periodo e per i tre secoli successivi una vera rivoluzione che permise di svolgere con facilità i calcoli di una certa complessità e quindi di ridurre notevolmente sia il tempo dedicato ai calcoli numerici sia il rischio di commettere eventuali errori di calcolo. Attualmente, con l'avvento delle calcolatrici elettroniche e dei computer, il logaritmo ha perso il suo ruolo come strumento pratico per il calcolo aritmetico ma nel tempo, grazie alle sue proprietà, ha acquisito un ruolo importante in matematica e in molte altre discipline scientifiche. Il logaritmo si è rilevato indispensabile per poter studiare tutti quei fenomeni che hanno una crescita o una decrescita esponenziale dove intervengono grandezze che presentano ampie variazioni su un intervallo di diversi ordini di grandezza. Inoltre, il logaritmo è utile per rappresentare graficamente in maniera più semplice ed intuitiva alcune grandezze che hanno una grande variabilità, ad esempio se una grandezza varia da 1 a 107 il logaritmo decimale di tale grandezza varia solamente da 0 a 7 e quindi possiamo rappresentarla graficamente utilizzando il suo logaritmo decimale.
In chimica il grado di acidità o di basicità di una sostanza o di una soluzione viene stabilito in base alla concentrazione degli ioni idronio H3O+ presenti nella sostanza o nella soluzione. Questi ioni espressi in mole/litro sono presenti in quantità molto piccola che varia in un intervallo molto ampio che va da 100 a 10-14, invece, se vengono espressi in particelle ioniche allora il loro numero diventa molto grande una mole corrisponde a 6,022 ⋅ 1023 particelle ioniche. Per semplificare i calcoli nel 1909 il biochimico danese Sorensen introdusse una nuova grandezza indicata con il simbolo pH (si legge pi-acca e rappresenta il potenziale dello ione idronio) definita come:
il logaritmo negativo in base 10 della concentrazione degli ioni H3O+ presenti nella sostanza o nella soluzione.
Dove [H3O+] indica la concentrazione degli ioni idronio espressi in moli/litro. Ne segue che la scala dei valori di pH varia da 0 a 14 e quanto più è basso il pH tanto più è acida la sostanza. In generale:
Ad esempio, una soluzione a pH = 2 ha una concentrazione di H3O+ 100 volte superiore rispetto ad una soluzione a pH = 4 e quindi è molto più acida. Il metodo più semplice per determinare sperimentalmente il pH è quello di usare una cartina tornasole cioè una striscia di carta imbevuta di una sostanza che a contatto con la soluzione da esaminare cambia di colore; diventa rossa in ambiente acido, azzurra in ambiente basico, verde in ambiente neutro.
Perchè è importante conoscere il pH di una sostanza?
Tutti gli alimenti di cui ci nutriamo possiedono un particolare valore di pH e l'acidità o basicità di un alimento ne influenza il sapore, generalmente gli alimenti acidi (come la maggior parte della frutta e il succo di limone) hanno un gusto aspro e pungente mentre quelli basici (come alcune verdure) hanno un gusto amaro, l'acqua pura è neutra ha un pH 7. Il nostro sangue è leggermente alcalino e ha un pH, che va da 7,35 a 7,45. Questi valori sono mantenuti costanti grazie a vari sistemi tampone che l'organismo possiede per bilanciare gli alimenti più acidi o più basici che introduciamo per nutrirci. Inoltre, dal pH dipende la vita di tutti gli esseri viventi vediamo perchè.
Tutte le reazioni chimiche che avvengono negli organismi viventi sono fortemente influenzati dalla concentrazione degli ioni idronio e solitamente avvengono solo a determinati valori di pH.
La funzione biologica di una proteina dipende dalla sua struttura tridimensionale che è molto fragile e se è esposta a valori di pH drastici tale struttura viene distrutta e la proteina perde la sua attività biologica.
Sostanze molto acide o molto basiche sono corrosive e nocive per gli organismi viventi.
L'acqua piovana a causa dell'anidride carbonica, presente nell'aria, ha un pH compreso tra 5 e 6 ma con l'inquinamento si possono avere pioggie più acide con pH che varia da 3,5 a 4 con effetti negativi sulla vitalità della vegetazione e sulla corrusione dei monumenti in calcare o in marmo o in metallo.
Nel suolo il pH tra 6 e 7 è generalmente favorevole per la crescita delle piante mentre suoli con pH minore di 5,6 o maggiori di 8,5 non sono adatti per la maggior parte di coltura.
Quando si verifica un terremoto viene misurata la sua magnitudo detta anche magnitudine cioè, viene stimata, mediante uno sismografo, la quantità di energia elastica rilasciata durante il terremoto per predisporre rapidamente, in caso di forte sisma, tempestivi interventi. Il sismografo è uno strumento in grado di registrare le ampiezze delle diverse onde sismiche durante il terremoto.
Nel 1935, il geofisico Charles Richter, osservando che un terremoto più forte di un altro fa registrare sul sismografo delle oscillazioni maggiori, anche se hanno lo stesso epicentro, ebbe l'idea che l'energia sprigionata dal terremoto poteva essere stimata misurando l'ampiezza massima del segnale registrato sul sismografo. Pochè i sismografi sono molto sensibili e il valore dell'ampiezza massima poteva variare in un intervallo molto ampio Richter utilizzò il logaritmo in base 10 per formare una scala di riferimento per indicare la grandezza della magnitudo che in suo onore è chiamata scala Richter.
La magnitudo è il logaritmo in base dieci del rapporto fra l'ampiezza massima A dell'onda registrata dal sismografo durante il terremoto, misurata in micron, e l'ampiezza A0 che verrebbe prodotta da un terremoto campione alla stessa distanza epicentrale.
In formula:
La magnitudo, essendo un rapporto tra due grandezze omogenee, è espressa mediante un numero puro che non ha una unità di misura. Inoltre, essendo espressa in logaritmi in base 10 significa che tra un grado ed un altro l'ampiezza del sisma è 10 volte più grande e è stato calcolato che l'energia sprigionata è 31,6 volte superiore. I terremoti con magnitudo 2,5 sono avvertiti dalle persone solo se si trovano in prossimità dell'area epicentrale, mentre terremoti con magnitudo superiore a 5 possono provocare danni al patrimonio edilizio e vittime.
Il suono è un'onda generata da un oggetto che vibra e si propaga attraverso l'aria a una velocità di 340 m/s. L'onda generata dalla sorgente sonora genera una rapida variazione di pressione (compressione e rarefrazione) che vengono percepite dalla coclea (è la struttura dell'orecchio interno specificatamente deputata alla percezione dei suoni formata da un canale osseo avvolto a spirale logaritmica) e trasformati in segnali elettrici che il nervo uditivo trasmette al cervello che li traduce in suoni.
Il nostro organo uditivo è particolarmente sensibile al suono, siamo in grado di udire suoni in un intervallo di frequenza molto ampio, da 20 Hz a 20.000 Hz. Inoltre, se consideriamo l'intensità del suono il nostro orecchio è in grado di percepire sia suoni molto deboli che hanno un'intensità di circa 1,0⋅10-12 W/m2 detta soglia minima udibile sia suoni molto forti che hanno un'intensità di circa 10 W/m2 detta soglia massima da sopportare (o soglia del dolore). In altre parole, l'intensità massima che il nostro organo uditivo percepisce senza dolore è mille miliardi di volte l'intensità minima udibile. Si è scoperto che se sentiamo un suono di intensità I1 e poi sentiamo un secondo suono con intensità I2=10⋅I1 abbiamo la sensazione che il volume del secondo suono sia solamente il doppio del primo. Questo significa che la nostra percezione sul volume del suono non è lineare ma logaritmica. Per questo motivo, per misurare il volume con cui percepiamo un suono di intensità I si è scelto una scala logaritmica di livello di intensità sonora espressa in decibel e indicata col simbolo dB, ossia in decimi di bel, dal nome dello scienziato Bell.
dove I0 è la più debole intensità del suono che si possa udire che corrisponde a 1,0⋅10-12 W/m2. Nella formula c'è un rapporto tra due grandezze omogenee e quindi il decibel non è una unità di misura, ma un numero che rappresenta una unità di valutazione. Con questa formula l'intervallo dei valori dei livelli di intensità sonora viene compreso tra 0 e 130 dB.
Da sempre di notte in una zona senza inquinamento luminoso, guardando il cielo a occhio nudo possiamo osservare la presenza di numerosissimi corpi celesti che hanno diversa intensità luminosa.
Lo studio dei corpi celesti è molto antico e ha affascinato molte antiche civiltà. Ipparco di Nicea (200-120 a.C.) riconosciuto come il padre della scienza astronomica classificò le stelle visibili, in base al loro splendore, in sei gruppi dalla magnitudine 1 alla 6. Attribuendo la magnitudine 1 alle stelle più luminose, la magnetudine 2 a quelle un pò meno luminose, e via via fino alla magnetudine 6, al quale appartenevano le stelle appena visibili a occhio nudo. Era questa una classificazione empirica dovuta alla mancanza sia di strumenti ottici sia strumenti in grado di misurare la luminosità e quindi si basava esclusivamente sulla percezione del nostro senso visivo: l'occhio che trasforma l'immagine che si forma sulla retina in segnali elettrici che attraverso il nervo ottico vengono inviati al cervello che li elabora e ricostruisce l'immagine.
La scala empirica delle magnitudini stabilita da Ipparco restò in vigore per molti secoli finchè nel 1860 con la legge psicofisica di Weber-Fechner venne descritta la relazione che lega lo stimolo con la percezione:
La percezione è proporzionale secondo un fattore k al logaritmo, in base 10, allo stimolo.
La legge di Weber-Fechner applicata alla magnitudine assume la forma:m = k ⋅ log I
dove m è la magnitudine cioè la percezione, k la costante di proporzionalità e I la quantità di energia luminosa cioè lo stimolo. In altre parole, la risposta dell'occhio umano alla luminosità di una sorgente è di tipo logaritmico e ciò ci permette, senza alcun problema, di percepire sia la luce molto tenua proveniente da una stella molto lontana sia il bagliore di un fulmine. L'astronomo inglese Norman Robert Pogson (1829–1891) osservò che nel sistema di magnitudine di Ipparco le stelle di magnitudine 1 erano circa cento volte più luminose delle stelle di magnitudine 6, e quindi la diminuzione di luminosità per ogni gruppo era nell'ordine della radice quinta di cento, che vale circa 2,512. Pogson propose quindi una scala delle magnitudini stellari più rigorosa che si basava sulla seguente formulazione matematica:
m1 - m2 = -2,512 ⋅ log I1/I2
dove m1 - m2 è la differenza di magnitudine di due stelle le cui intensità luminose sono rispettivamente I1 e I2 e -2,512 rappresenta la costante di proporzionalità. Questa relazione, detta equazione di Pogson, mette in rilievo che la magnitudine decresce all'aumentare della intensità luminosa delle stelle, inoltre le magnitudini possono non essere numeri interi e possono assumere anche valori negativi. Ecco ad esempio, la magnetudine di alcuni corpi celesti.
In una particolare spirale la distanza tra due spire consecutive non è costante ma aumenta secondo una progressione geometrica per questo motivo tale spirale è detta logaritmica e la sua equazione espressa in coordinate polari è
dove a e b sono due costanti reali positive. Questa equazione può essere riformulata ed espressa in termini di logaritmi naturali nella forma:
Che ha per grafico:
Questa curva è detta anche spirale di crescita perchè è una figura che cresce continuamente senza cambiare forma, cioè se ci allontaniamo sempre di più dal suo punto di origine le dimensioni della spirale aumentano ma la curva rimane sempre somigliante a se stessa. La natura apprezza e utilizza la spirale logaritmica perchè è la curva ideale per crescere mantenendo la stessa forma. Ad esempio, il nautilus ha una conchiglia che ha per sezione una spirale logaritmica.
Si dispongono lungo linee a spirali logaritmiche i semi del girasole, i primordi delle margherite e di altri fiori, le squame delle pigne, le infiorescenza del cavolfiore, le squame esagonali dell'ananas o le foglie di alcune piante grasse.