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Modello inversamente
Per esperienza sappiamo che il tempo impiegato per percorrere una data distanza con un'automobile dipende dalla velocità media con cui si viaggia. Ad esempio, se il percorso è di 120 km e viaggiamo a 40 km/h impieghiamo 3 ore, se invece viaggiamo a 80 km/h impieghiamo 1,5 ore e se viaggiamo a 120 km/h impieghiamo 1 ora. Come si vede le due grandezza velocità e tempo sono tali che, quanto la prima raddoppia la seconda dimezza, quando la prima triplica, la seconda diventa un terzo e il prodotto tra le due grandezze è costante.
40 ⋅ 3 = 80 ⋅ 1,5 = 120 ⋅ 1 = 120
Se indichiamo con y la velocità, con x il tempo e con k il valore costante, possiamo scrivere:
Due grandezze di questo tipo si dicono inversamente proporzionali e k rappresenta il coefficiente di proporzionalità inversa e il grafico che rappresenta le due grandezze invesamente proporzionali è un ramo di iperbole equilatera avente gli assi cartesiani come asintoti.
Grandezze inversamente proporzionali hanno un importante ruolo sia nella nostra vita quotidiana sia in molte applicazioni:
Il Tutor un sistema per il controllo della velocità.
Tutti gli automobilisti sanno che sulle tangenziali e sulle autostrade sono istallati sistemi per il controllo della velocità media di un veicolo detti Tutor. Il principio su cui si basa questo sistema è: fissata una data distanza, la velocità media di un veicolo è inversamente proporzionale al tempo impiegato per percorrerla. Vediamo come funziona un Tutor. Una tratta di autostrada di 15 km viene delimitata da due portali di rilevamento uno di ingresso e l'altro di uscita.
Quando il veicolo passa attraverso il portale di ingresso un sensore e una telecamera rilevano la targa e registrano la data e l'ora del passaggio e quando lo stesso veicolo dopo 15 km attraversa il portale di uscita viene di nuovo rilevato la targa e registrata la data l'ora del passaggio. I dati raccolti vengono inviati in un sistema centralizzato che calcola la velocità media:
Se la velocità media rilevata supera la velocità consentita, più il 5% di tolleranza, attraverso la targa si risale all'intestatario del veicolo al quale viene inviata la notifica della multa. Il sistema Tutor è più efficace rispetto ad un Autovelox che accerta solo la velocità del veicolo in un determinato istante, perchè rilevando la velocità media impedisce i comportamenti scorretti e pericolosi di viaggiare oltre i limiti consentiti e frenare solo in corrispondenza delle telecamere tornando a viaggiare a velocità consentita. Il Tutor funziona anche di notte, in caso di pioggia e in presenza di nebbia con visibilità ridotta fino a 30-40 metri. Con il sistema Tutor è aumentata la sicurezza per chi viaggia in autostrada infatti, è stato rilevato che dopo il primo anno dall'installazione, sulle tratte in cui è istallato il Tutor, il tasso di mortalità si è ridotto del 51%.
Il vantaggio degli utensili.
La pinza, la tenaglia, lo schiaccinoci, l'apribottiglia sono tutte leve cioè utensili, molto diffusi nella vita quotidiana, che permettono di equilibrare o vincere una forza, detta forza resistente, con un'altra forza detta forza motrice.
Questi utensili sono costituiti da uno o da due corpi rigidi che possono ruotare attorno a un punto detto fulcro. La forza motrice Fm e la forza resistente Fr sono applicate rispettivamente a distanza bm (braccio della forza motrice) e br (braccio della forza resistente) dal fulcro.
Una leva è in equilibrio quando il prodotto della forza motrice per il suo braccio è uguale al prodotto della forza resistente per il suo braccio. In formula:
Fm ⋅ bm = Fr ⋅ br
E risolvendo rispetto alla forza motrice si ha:
Come si vede dalla formula la forza motrice e il braccio della forza motrice sono inversamente proporzionali e quindi, a parità di forza resistente e braccio resistente, più è lungo il braccio della forza motrice minore è la forza motrice necessaria per equilibrare o vincere la forza resistente e viceversa. Pertanto una leva può essere vantaggiosa (la forza motrice è minore della forza resistente se: bm > br), svantaggiosa (la forza motrice è maggiore della forza resistente se: bm < br), indifferente (la forza motrice è uguale alla forza resistente se: bm = br). Si racconta che Archimede per mettere in evidenza che con una leva è possibile sollevare grandi carichi applicando una forza modesta abbia detto la famosa frase:
Datemi una leva e vi solleverò il mondo.
La leva è la macchina semplice più antica utilizzata dall'uomo e ancora oggi è quella che ha moltissime applicazioni. Anche il nostro corpo per funzionare ha le sue leve ad esempio, quando solleviamo in alto un oggetto che abbiamo in mano il nostro braccio si comporta come una leva dove il fulcro è l'articolazione del gomito, la forza motrice è esercitata dal muscolo bicipide e la forza resistente è la massa dell'oggetto sostenuta dalla mano.
Tutte le volte che ci muoviamo il nostro apparato locomotore si comporta come un insieme di leve aventi come fulcro le articolazioni, come forza motrice i muscoli collegati alle ossa, e come forza resistente l'attrito o gli eventuali pesi da spostare.
Equazione di stato dei gas ideali.
Il comportamento di un gas dipende da quattro parametri: pressione p, temperatura T, numero delle molecole n, volume V. Per individuare le relazioni che intercorrono tra queste quattro grandezze viene considerato un gas ideale cioè un gas in cui le interazioni tra le molecole che costituiscono il gas sono talmente piccole da essere trascurate. Dalle osservazioni sperimentali si ottiene la seguente relazione detta equazione di stato dei gas ideali:pV = nRT
dove R è la costante dei gas. Da questa relazione si ottiene:
Pertanto la pressione di un gas ideale è inversamente proporzionale al volume, se la temperatura e il numero delle molecole sono costanti.
La Terra è circondata da una miscela di gas detta atmosfera che si estende per centinaia di kilometri, diventando sempre più rarefatta verso l'alto. L'atmosfera è trattenuta intorno alla Terra dalla forza di gravità.
Tra i vari gas, ossigeno, azoto, anidride carbonica c'è anche il vapor acqueo (che proviene dall'evaporazione delle superfici liquide: oceani, mari e laghi) e il pulviscolo atmosferico (piccole particelle solide sospese: polvere, cenere vulcaniche sale marino e smog). Le particelle solide che costituiscono il pulviscolo atmosferico si comportano come nuclei di condensazione attirando le minuscole goccioline di acqua che si trovano in libera sospensione nell'atmosfera, aggregandole in goccioline più grosse che danno vita alle nubi.
In determinate condizioni di pressione e temperatura le goccioline d'acqua si aggregano e, diventando pesanti cadono al suolo danno luogo a pioggia o neve o grandine. Queste manifestazioni atmosferiche, che determinano le condizioni climatiche sulla Terra, hanno un'importante influenza sulla vita degli esseri viventi. Per questo motivo, da sempre, si è cercato di studiare i processi fisici che avvengono nell'atmosfera e prevedere le condizioni del tempo atmosferico nel breve periodo. Prevedere il tempo atmosferico non è semplice perchè dipende dall'azione combinata di molti fattori ad esempio la pressione atmosferica, la temperatura, l'umidità, i venti, i fattori geografici, la vegetazione.
La massa d'aria che circonda la terra ha un peso che grava sulla superficie della Terra e quindi esercita una pressione, detta pressione atmosferica. Al livello del mare il valore della pressione atmosferica corrisponde al peso di una colonnina di mercurio con sezione di un centimetro quadrato e alta 760 mm che è all'incirca la massa di un chilogramma per ogni centimetro quadrato di superficie:1 atm = 760 mm di Hg = 1013 millibar
Se la pressione è maggiore di 1013 millibar è detta alta pressione invece, se è minore di 1013 millibar è detta bassa pressione. La pressione atmosfera non è costante e diminuisce sia con l'altitudine (perchè diminuisce l'altezza della colonna d'aria sovrastante) sia al crescere della temperatura dell'aria (perchè i gas sono meno densi essendo più dilatati). Le differenze di pressione atmosferica creano spostamenti di masse d'aria che si muovono sempre da una zona d'alta pressione ad una di bassa pressione. Questi spostamenti d'aria vengono detti venti. La quantità di vapor d'acqua presente nell'atmosfera determina il grado di umidità dell'aria e comunque l'aria non può contenere una quantità illimitata di vapore acqueo. Quando l'aria contiene la massima quantità possibile di vapore acqueo si dice che è satura. Inoltre, la quantità di vapore acqueo contenuta nell'aria dipende dalla temperatura che è massima al livello del suolo e diminuisce di 1°C ogni 100 m di quota. Con le differenze di temperatura l'aria calda e umida sale verso l'alto generando una zona di bassa pressione mentre, l'area fredda e secca scende verso il basso generando una zona di alta pressione.
Per ottenere una prima approsimazione sul tempo atmosferico vengono fatte alcune semplificazioni:
L'aria viene considerata come un gas ideale e quindi vale l'equazione di stato dei gas.
Ogni volta viene considerato una piccola un'area geografica.
La temperatura, nella piccola area geografica, viene considerata costante e, quindi, la pressione atmosferica è inversamente proporzionale al volume del vapore acqueo.
Vengono tracciate le isobare che sono linee chiuse che uniscono i punti dell'area geografica che hanno la stessa pressione. In questo modo vengono individuate le zone A ad alta pressione dette anticicloniche e le zone B a bassa pressione dette cicloniche.
Nelle zone anticicloniche a causa dell'alta pressione l'aria più fredda si muove verso il basso e verso l'esterno in questo modo si riscalda e diminuisce la sua umidità e quindi non si formano le nuvole e tutto ciò determina le condizioni di bel tempo.
Nelle zone cicloniche a causa della bassa pressione entra l'aria proveniente dalle zone di alta pressione e sale verso l'alto. In questo modo l'aria si raffredda e aumenta la sua umidità. Si formano le nuvole e la pioggia tutto ciò determina le condizioni di mal tempo. In altre parole, nelle zone anticicloniche si ha cielo sereno, area secca e assenza di nuvole mentre nelle zone cicloniche si ha aria umida, nuvole e precipitazioni.