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Modello esponenziale

La funzione esponenziale

y = b⋅a^x

rappresenta, come vedremo, un modello matematico per descrivere numerose situazioni reali di accrescimento o di decadimento che si evolvono con continuità nel tempo:

• Crescita dei batteri.
  
  I batteri sono microrganismi viventi unicellulari con dimensioni nell'ordine del millesimo di millimetro. Vivono ovunque, nel nostro corpo e in tutto l'ambiente che ci circonda. Si riproducono con estrema rapidità per scissione binaria: ogni batterio (cellula madre) si scinde in due unità, dando origine a due cellule figlie identiche all'originale e poi ciascuna cellula figlia si accresce e, raggiunta la dimensione adulta, da origine a una nuova scissione.

  

  Ad esempio, il batterio Escherichia coli in figura:

  

  risiede normalmente nel nostro intestino e impiega circa 20 minuti per dividersi in due cellule figlie. Il tempo tra due scissioni cellulare è detto tempo di generazione perchè ogni scissione da luogo a una nuova generazione. Partendo da una sola cellula madre, di Escherichia coli si possono avere 2 cellule figlie dopo 1 tempo di generazione, 4 cellule figlie dopo 2 tempi di generazione, 8 cellule figlie dopo 3 tempi di generazione e cosí via. Possiamo descrivere la crescita di questo batterio con la seguente tabella:

  

  Come si vede dalla tabella la grandezza tempi di generazione forma una progressione aritmetica: ogni termine si ottiene dal precedente sommando 1. Invece, la grandezza numero di batteri forma una progressione geometrica: una successione di numeri reali per i quali è uguale a 2 il rapporto tra un termine e il precedente. Ora, tra le due grandezze esiste una relazione che ci permette di passare dalla progressione aritmetica della grandezza tempi di generazione alla progressione geometrica della grandezza numero di batteri. Come possiamo determinare questa relazione? La tabella può essere scritta anche in questo modo:

  

  Dove il numero dei batteri aumenta secondo le potenze del 2 avente per esponente i tempi di generazione:

  numero di batteri = 2^{tempi di generazione}

  Cioè:

  y = 2^x

  dove y è il numero dei batteri e x è il tempo di generazione. Se riportiamo i valori della tabella in un piano cartesiano otteniamo il seguente grafico:

  

  Come si vede la curva cresce rapidamente e in questi casi si dice che la curva è esponenziale e la funzione y = 2^x è di tipo esponenziale. Applicando la nostra funzione esponenziale possiamo con un semplice calcolo determinare il numero teorico di batteri Escherichia coli presenti dopo un certo numero di ore partendo da un singolo batterio. Ad esempio, se poniamo un batterio Escherichia coli in una piastra di Petri (recipinte utilizzato in laboratorio nel quale i microbiologi coltivano i batteri a una determinata temperatura e con un adatto terreno di coltura) dopo 6 ore si hanno

  (6 ⋅ 60) : 20 = 18

  18 generazioni di batteri e:

  2¹⁸ = 262.144 batteri

  Normalmente, nella coltivazione dei batteri non si parte da un singolo batterio e la formula che viene utilizzata in biologia per conoscere la crescita dei batteri dopo un dato tempo di generazione è:

  N = N₀2^x

  dove N è il numero di batteri che sarà presente dopo un dato tempo di generazione, N₀ è il numero iniziale di batteri e x è tempo di generazione considerato.

• Decadimento del carbonio 14.
  

  Tutti gli elementi chimici come l'ossigeno, l'idrogeno, il ferro, ecc. sono costituiti da atomi; piccole entità che contengono tre tipi di particelle: elettroni (dotati di carica elettrica negativa), protoni (dotati di carica elettrica positiva) e neutroni (non dotati di carica elettica). I protoni e i neutroni formano il nucleo dell'atomo mentre gli elettroni ruotano in orbite intorno al nucleo. In ogni atomo il numero degli elettroni è uguale al numero dei protoni e quindi l'atomo risulta elettricamente neutro. Un elemento chimico si distingue da un altro elemento per il numero dei protoni presenti nel proprio nucleo. Ad esempio l'atomo di litio è formato da 3 protoni, 3 elettroni e 4 neutroni:

  

  Il numero totale di protoni e neutroni di un nucleo atomico è detto numero di massa e indicato con A, mentre il numero di protoni presenti nel nucleo è detto numero atomico e indicato con Z. Ogni elemento chimico è presente come miscela di isotopi cioè, atomi dello stesso elemento avente le stesse proprietà chimiche perchè hanno lo stesso numero di protoni e elettroni, ma masse atomiche diverse, perchè nel nucleo contengono un diverso numero di neutroni e ciò comporta che le proprietà fisiche siano leggermente diverse. Ad esempio, l'idrogeno è presente come miscela di tre isotopi: il Prozio (o Idrogeno) che nel nucleo ha 1 protone, il Deuterio che nel nucleo ha 1 protone e 1 neutrone, il Trizio che nel nucleo ha 1 protone e 2 neutroni. Il prozio è l'isotopo più comune e rappresenta il 99,985% della miscela dei tre isotopi. Un elemento fondamentale per la vita perchè è presente in tutte le sostanze organiche è il carbonio. In natura esistono tre isotopi del carbonio:

  • Isotopi stabili:

    ¹²C (carbonio 12 ha 6 protoni e 6 neutroni)

    ¹³C (carbonio 13 ha 6 protoni e 7 neutroni)

  • Isotopo instabile:

    ¹⁴C (carbonio 14 ha 6 protoni e 8 neutroni)

  Per la presenza di un eccesso di neutroni alcuni isotopi sono instabili e si trasformano in atomi di un altro elemento, con una minore massa atomica, espellendo delle particelle dette radiazioni. Questo processo viene detto decadimento radioattivo. Un'importante applicazione del decadimento radioattivo riguarda un metodo di datazione di qualsiasi materiale di origine organica (legno, stoffa, carta, semi, polline, pergamena, pellame, osse, carboni, tessuti) mediante l'analisi del decadimento del carbonio 14. La quantità di carbonio 14 è costante nell'atmosfera e gli esseri viventi lo assorbono durante la loro vita sia dall'aria sia dagli alimenti pertanto la quantità di carbonio 14 è costante anche negli organismi viventi. Quando l'organismo vivente muore non incorpora più il carbonio 14 e la sua quantità diminuisce progressivamente perchè inizia a decadere senza essere sostituito con quello presente nell'aria e negli alimenti e a trasformarsi in azoto 14 che è stabile e non radioattivo. In pratica avviene la seguente reazione nucleare:

  

  dove un neutrone del carbonio 14 si trasforma in un protone espellendo una particella negativa chiamata beta meno (β^-), in questo modo il nucleo del carbonio 14 si trasforma in un nucleo dell'atomo di azoto 14. Conoscendo la quantità di carbonio 14 rimasta nel fossile è possibile stabilire quanto tempo è trascorso dal suo decesso sapendo che il tempo necessario affinchè decada la metà degli atomi di carbonio 14 è costante ed è di 5730 anni. Il tempo necessario affinchè decada la metà degli atomi di un isotopo radioattivo è detto tempo di dimezzamento, pertanto il tempo di dimezzamento del carbonio 14 è di 5730 anni. Possiamo descrivere il decadimento del carbonio 14 con la seguente tabella:

  

  Ancora una volta abbiamo due progressione una aritmetica e l'altra geometrica e la relazione tra le due progressioni può essere descritta dalla seguente tabella:

  

  dove la massa del carbonio 14 decresce secondo le potenze di 1/2 avente per esponente i tempi di dimezzamento:

  massa di carbonio 14 = (1/2)^{tempi di dimezzamento}

  Cioè:

  y = (1/2)^x

  dove y è la massa di carbonio 14 e x è il tempo di dimezzamento. Se riportiamo i valori della tabella in un piano cartesiano otteniamo il seguente grafico:

  

  Come si vede la curva decresce in modo esponenziale. Nella tabella abbiamo supposto che la massa iniziale di carbonio 14 fosse unitaria, ma se la massa non è unitaria la formula diventa:

  

  dove N è la massa del carbonio 14 presente nel campione fossile, N₀ è la massa del carbonio 14 iniziale e x è il tempo di dimezzamento.

• Fissione nucleare indotta dell'uranio 235.
  
  Per fissione nucleare s'intende una reazione nucleare in cui il nucleo atomico di un elemento con numero di massa molto alto come l'uranio si spezza in due altri nuclei più leggeri liberando un certo numero di neutroni e una notevole quantità di energia, sotto forma di calore. L'energia prodotta dalla fissione deriva dalla perdita di massa tra il nucleo iniziale e i due nuclei più leggeri, che si formano nella reazione nucleare, secondo la relazione di Einstein E=mc² dove m è la massa e c è la velocità della luce pari a 300.000 km/s. Questa energia viene sfruttata sia per scopi bellici (bomba atomica) sia per scopi pacifici (reattori nucleari per la produzione di energia elettrica). La fissione nucleare può essere spontanea o indotta mediante bombardamento di neutroni.

  

  Nella fissione nucleare indotta il nucleo dell'uranio 235, che contiene 92 protoni e 143 neutroni, quando viene bombardato con un neutrone si spezza in un nucleo di bario 144, in un nucleo di cripto 89 e rilascia tre neutroni liberi più un'energia pari a 200 MeV.

  
  

  

  I tre neutroni liberi colpendo altri tre nuclei di uranio 235 provocano altre tre fissioni e quindi nove neutroni liberi che provocano altre nove fissioni e quindi ventisette neutroni liberi e cosí via innescando una reazione a catena. Nella reazione a catena il numero dei neutroni

  1, 3, 9, 27, 81, 243, ...

  ha una crescita esponenziale e quindi è sufficiente una piccola massa di Uranio 235 per ottenere una notevole quantità di energia nucleare. Per innescare la reazione a catena occorre che la massa dell'uranio non sia inferiore ad una decina di chilogrammi e tale quantità è detta massa critica. Una bomba nucleare è, quindi, costituita da due masse subcritiche di uranio 235 che vengono unite solo nel momento in cui si vuole innescare la reazione a catena che avviene in brevissimo tempo, nell'ordine del centesimo di secondo. Nei reattori nucleari la reazione a catena deve essere controllata e regolata per evitare che si liberi in poco tempo una quantità eccessiva di energia provocando un'esplosione. Fu il fisico italiano E. Fermi a realizzare la prima razione a catena controllata nel 1942. Per controllare la fissione dopo l'innesco Fermi utilizzò delle barre di grafite che hanno la funzione di moderare il numero dei neutroni liberi assorbendoli in parte o totalmente e quindi rallentare o bloccare la reazione a catena. In questo modo lo sviluppo dell'energia può essere controllato e mantenuto costante oppure se è necessario bloccare la fissione. Generalmente, nei reattori nucleari il valore di k (tasso di crescita del numero di neutroni liberi) viene mantenuto intorno al valore di 1,005 cioè una crescita del 0,5%. Nelle centrali nucleari il calore prodotto dal processo di fissione nucleare viene utilizzato per produrre vapore che alimentando una turbina a vapore viene trasformato in energia elettrica. E' stato calcolato che da 1 g di uranio 235 si ottengono circa 80 miliardi di joule di energia. Ecco, ad esempio uno schema di centrale nucleare.

  

• Decadimento radioattivo.
  
  I nuclei di alcuni elementi sono instabili e quindi tendono a trasformarsi in nuclei più piccoli a minore energia di legame nucleare e quindi più stabili. Questo processo chiamato decadimento radiottivo avviene sempre con l'emmissione di una particella e in alcuni casi questo processo è spontaneo. Questo fenomeno fu scoperto nel 1896 dal fisico francese Henri Becquerel e studiato dai coniugi Marie Curie e Pierre Curie che scoprirono anche due nuovi elementi radioattivi, il polonio e il radio. Esistono essenzialmente tre tipi di decadimento radioattivo:

  • Decadimento α.
    
    Il nucleo decade emettendo una particella α costituita da 2 protoni e 2 neutroni cioè un nucleo di elio. In questo modo il nucleo iniziale si trasforma in un nuovo nucleo con un numero di massa minore di 4 e con un numero atomico minore di 2.

  • Decadimento β.
    
    Il nucleo decade emettendo un elettrone e ciò avviene perchè un neutrone si trasforma in un protone e un elettrone che viene espulso dal nucleo. Pertanto il nucleo inziale si trasforma in un nuovo nucleo con un numero di massa invariato e con un numero atomico maggiore di 1.

  • Decadimento γ.
    
    Il nucleo decade emettendo un raggio γ cioè un fotone altamente energetico. In questo modo il nucleo iniziale passa a uno stato di minore energia.

  Il decadimento radioattivo ha numerose applicazioni diagnostiche nel campo medico (radiografia, tac, scintigrafia, PET, radiofarmaci) che permettono di ricostruire immagini delle parti interne di un corpo. Inoltre, in medicina, le radiazioni sono utilizzate per la cura dei tumori perchè la radiazioni opportunamente indirizzate permettono di distruggere le cellule malate.

• Capitalizzazione composta.
  
  Quando si chiede in prestito una somma di denaro a una banca bisogna stabilire dopo quanto tempo questa somma viene restituita e il compenso in denaro che si deve versare in aggiunta al prestito ottenuto. La somma ricevuta viene detta capitale iniziale e indicata con C, la differenza fra la somma restituita e la somma ricevuta viene detta interesse e indicata con I e la somma restituita (capitale iniziale più interesse) è detta montante e indicato con M.

  M = C + I

  L'interesse I dipende dal capitale iniziale C, dal tasso annuale di interesse i e dal tempo t:

  I = C ⋅ i ⋅ t

  Pertanto la formula del montante diventa:

  M = C + C ⋅ i ⋅ t = C(1 + i ⋅ t)

  Nella capitalizzazione composta l'interesse maturato alla fine di ogni anno viene aggiunto al capitale e produce interesse nei periodi successivi. Per esempio, calcoliamo il montante M di un capitale C dopo 4 anni al tasso annuo i:

  • Primo anno

    M₁ = C(1 + it)

  • Secondo anno

    M₂ = M₁(1 + it) = C(1 + it)(1 + it) = C(1 + it)²

  • Terzo anno

    M₃ = M₂(1 + it) = C(1 + it)³

  • Quarto anno

    M = M₄ = M₃(1 + it) = C(1 + it)⁴

  In generale il montante M di un capitale C dopo n anni al tasso annuo i è:

  M = C(1 + it)ⁿ

  Il termine (1 + it)ⁿ è detto fattore di capitalizzazione composta e come si vede ha una crescita esponenziale.

Tutti i fenomeni di crescita o decadimento esponenziale possono essere descritti con la stessa formula:

N = N₀a^x

dove a è un numero reale positivo diverso da 1 che dipende dal tipo di fenomeno che si sta considerando: in particolare se il fenomeno è di decadimento esponenziale il valore di a è compreso tra 0 e 1 e se il fenomeno è di crescita esponenziale il valore di a sarà maggiore di 1. Spesso anche quest'ultima formula viene scritta in un altro modo equivalente, vediamo come. Ogni funzione esponenziale può essere trasformata in un'altra funzione esponenziale equivalente avente per base il numero e di Nepero:

a^x = e^xln(a)

Essendo a un valore costante anche ln(a) è un valore costante che possiamo indicare con k tenendo presente che k è positivo per a maggiore di 1 e negativo per a compreso tra 0 e 1. In pratica, il valore di k rappresenta la costante di crescita o di decadimento del fenomeno in esame. Pertanto la formula diventa:

N = N₀e^kx

Inoltre, essendo x il tempo t di durata del fenomeno si preferisce sostituire x con t e quindi la formula finale è:

N = N₀e^kt

Questa formula rappresenta il modello matematico per simulare la crescita o la decrescita esponenziale di un fenomeno ed è utilizzata in biologia, in fisica, in economia, archeologia, in medicina. Vediamo alcuni esempi:

• Crescita esponenziale del batterio Escherichia cole.
  
  Verifichiamo il calcolo della crescita esponenziale di un singolo batterio dopo 6 ore sapendo che in condizioni nutrizionali ottimali, E. coli completa un intero ciclo in circa 20 minuti.

  N₀ = 1; k = ln (2); t = (60 ⋅ 6) : 20 = 18

  Applicando la formula del modello si ottiene:

  N = 1 ⋅ e^{18 ⋅ ln (2)} = 262144

• Decrescita esponenziale del carbonio 14.
  
  Un reperto archeologico contiene il 5% del carbonio 14 originario. A quanto risale il reperto?

  Essendo:

  

  Applicando la formula del modello si ottiene:

  0,05 ⋅ N₀ = N₀ ⋅ e^-0,00012t

  E risolvendo rispetto a t si ottiene:

  

• Capitalizzazione composta.
  
  Quale capitale si ha a disposizione dopo 10 anni se si investono 1000 euro al tasso di interesse composto del 2,5% annuo?

  Metodo tradizionale:
  
  Dopo un anno avremo:

  1000(1 + 0,025) €

  Dopo due anni avremo:

  1000(1 + 0,025)² €

  Dopo dieci anni avremo:

  1000(1 + 0,025)¹⁰ € = 1280,08 €
  

  Metodo del modello esponenziale:
  
  Essendo:

  N₀ = 1000; k = ln (1,025); t = 10

  Applicando la formula del modello si ottiene:

  N = 1000 ⋅ e^{10 ⋅ ln (1,025)} = 1280,08 euro