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Il cubo e il tetraedro regolare

Fissiamo un vertice del cubo e su ciascuna faccia che lo contiene contrassegniamo il vertice ad esso opposto. Poi, congiungiamo tra loro i vertici contrassegnati e quello fissato all'inizio. Che solido otteniamo?

Un poliedro con 4 facce, 4 vertici e 6 spigoli. Questo poliedro è una piramide a base triangolare le cui quattro facce sono triangoli equilateri congruenti tra loro. Anche i quattro angoloidi di questa piramide sono congruenti tra loro perchè sono tutti delimitati da tre facce triangolari equilatere congruenti. Dunque questa piramide è un tetraedro regolare.

Possiamo quindi ottenere un tetraedro regolare tagliando un cubo con quattro opportuni piani; ogni piano deve passare per tre vertici non appartenenti alla stessa faccia del cubo.

Osservando la figura vediamo che il cubo è diviso in cinque parti; un tetraedro regolare e quattro piramidi a base triangolare con una faccia triangolare equilatera e tre facce triangolari rettangolari isosceli. Indicando con l lo spigolo del cubo possiamo facilmente calcolare il volume del tetraedro V_t inscritto nel cubo togliendo dal volume del cubo V_c la somma dei quattro volumi delle piramidi V_p.

Pertanto, il volume del tetraedro regolare è uguale a 1/3 del volume del cubo.

Possiamo osservare che ci sono altri quattro vertici del cubo che possiamo congiungere tra loro per ottenere un altro tetraedro regolare inscritto nello stesso cubo.

Questi due tetraedri sono congruenti e si intersecano. Ogni spigolo di un tetraedro è perpendicolare a uno spigolo dell'altro tetraedro nel suo punto medio. I due tetraedri sono simmetrici rispetto al centro del cubo e quindi un tetraedro può essere sovrapposto sull'altro mediante una rotazione di 180° con centro nel centro del cubo.

Quale solido si ottiene dall'unione dei due tetraedri regolari inscritti in un cubo? Un poliedro composto regolare formato da 24 facce triangolare equilatere congruenti. Questo solido è descritto e rappresentato nella Divina proporzione di Luca Pacioli con il nome Octaedron elevatum. Successivamente fu riscoperto da Keplero e chiamato stella octangula.

Questo poliedro concavo ha le facce tutte congruenti, ha anche tutti gli angoloidi congruenti? No, perchè ci sono 8 angoloidi limitati da tre facce triangolari e 6 angoloidi limitati da otto facce triangolari.

Come possiamo costruirlo? Partendo dal suo sviluppo piano formato da 24 triangoli equilateri tutti congruenti fra loro. Disegniamo i 24 triangoli equilateri con le relative linguette come indicato in figura. Poi tagliamo il contorno e le linee in grassetto, pieghiamo in avanti le linee a tratto continuo e a rovescio quelle tratteggiate. Infine mettiamo la colla sulle linguette e facciamo combaciare gli spigoli corrispondenti.

Possiamo ottenere la stella octangula anche ricorrendo a una costruzione per parti, cioè costruendo a parte i vari pezzi che costituiscono il solido. La stella octangula puè essere vista come un tetraedro sulle cui facce sono posizionate altrettanti tetraedri più piccoli. Disegniamo allora prima lo sviluppo di un tetraedro regolare e poi gli sviluppi di quattro tetraedri regolari più piccoli, uno per ciascuna faccia del primo tetraedro, con gli spigoli uguali alla metà di quelli del primo tetraedro regolare. Assembliamo i quattro tetraedri e incolliamoli sulle facce dello sviluppo del tetraedro grande. Poi assembliamo il tetraedro grande.

Gli spigoli della stella octangula si intersecano a coppie nei vertici di un ottaedro regolare.