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Dal cubo alle tassellazioni
Accostiamo fra loro 27 cubi in modo da formare un cubo più grande come si vede in figura.
Ora, sezioniamo il cubo grande con un piano; questo sezionerà anche alcuni cubi piccoli e per ognuno di questi cubi avremo una sezione poligonale. Tutte queste sezioni poligonali saranno accostate tra loro senza sovrapposizioni e ricopriranno interamente la sezione poligonale del cubo grande senza lasciare spazi vuoti. In altre parole, tutte le sezioni dei cubi piccoli tasselleranno (o come si dice pavimenteranno) il piano della sezione del cubo grande. Vediamo alcune di queste tassellazioni.
Sezioniamo il cubo grande con un piano parallelo ad una delle sue facce.
Come si vede dalla figura si formano dei quadrati congruenti fra loro che pavimentano, senza sovrapposizioni, la sezione quadrata del cubo grande. Questa tassellazione essendo formata da poligoni regolari tutti congruenti è una tassellazione regolare.
Sezioniamo il cubo grande con un piano passante per le diagonali di due facce opposte.
Quali sezioni si formeranno nei cubi più piccoli attraversati da questo piano?
Dei rettangoli massimi tutti congruenti fra loro che pavimentano, senza sovrapposizioni, la sezione rettangolare del cubo grande. In questa pavimentazione a rettangoli ogni vertice è comune a quattro rettangoli.
Sezioniamo il cubo grande con un piano passante per due vertici opposti e per i punti medi di due spigoli opposti.
Quali sezioni si formeranno nei cubi più piccoli attraversati da questo piano?
Dei rombi tutti congruenti fra loro che pavimentano, senza sovrapposizioni, la sezione romboide del cubo grande. Gli angoli consecutivi di ciascun rombo sono supplementari per cui i vertici interni alla tassellazione sono comuni a quattro rombi.
Sezioniamo il cubo grande con un piano perpendicolare a una sua diagonale.
Quali sezioni si formeranno nei cubi più piccoli attraversati da questo piano?
Triangoli equilateri e esagoni non regolari che ricoprono senza sovrapposizioni la sezione triangolare del cubo grande. Gli angoli dei triangoli equilateri sono di 60° mentre gli angoli degli esagono sono di 120°. Per avere angoli di 360° occorrono due angoli di 60° e due angoli di 120°. Quindi i vertici interni alla tassellazione sono comuni a due triangoli equilateri e a due esagoni.
Sezioniamo il cubo grande con un piano perpendicolare a una sua diagonale e passante per tre vertici.
Quali sezioni si formeranno nei cubi più piccoli attraversati da questo piano?
Triangoli equilateri tutti congruenti fra loro che ricoprono senza sovrapposizioni la sezione triangolare del cubo grande. Quindi i vertici interni alla tassellazione sono comuni a sei triangoli equilateri. Anche questa tassellazione è regolare essendo formata da triangoli equilateri tutti congruenti fra loro.
Sezioniamo il cubo grande con un piano perpendicolare a una sua diagonale e passante per i punti medi dei suoi spigoli.
Quali sezioni si formeranno nei cubi più piccoli attraversati da questo piano?
Esagoni regolari congruenti e triangoli equilateri congruenti che insieme ricoprono senza sovrapposizioni la sezione esagonale regolare del cubo grande. Per avere angoli di 360° occorrono due angoli di 60° e due angoli di 120°. Quindi i vertici interni alla tassellazione sono comuni a due triangoli equilateri e a due esagoni regolari. Questo tipo di tassellazione è detta semiregolare perchè intervengono solo poligoni regolari ma non tutti dello stesso tipo; quelli dello stesso tipo sono congruenti. Inoltre, le configurazioni in ogni vertice sono congruenti perchè in ogni vertice interno si incontrano sempre due triangoli equilateri e due esagoni regolari.
Sezioniamo il cubo grande con un piano perpendicolare a una diagonale del cubo.
Quali sezioni si formeranno nei cubi più piccoli attraversati da questo piano?
Triangoli equilateri e esagoni non regolari congruenti che insieme ricoprono senza sovrapposizione la sezione esagonale del cubo più grande. Ogni vertice interno alla tassellazione è comune a due triangoli equilateri non congruenti e a due esagoni non regolari congruenti.
Sezioniamo il cubo grande con un piano passante per la diagonale di una faccia e per i punti medi di due spigoli consecutivi della faccia opposta.
Quali sezioni si formeranno nei cubi più piccoli attraversati da questo piano?
Triangoli isosceli congruenti tra loro e trapezi isosceli congruenti tra loro che insieme ricoprono senza sovrapposizioni la sezione trapezoidale del cubo grande. In questo caso non è facile determinare le ampiezze degli angoli sia del trapezio isoscele sia del triangolo isoscele. Possiamo però stabilire che l'angolo ottuso del trapezio isoscele e l'angolo alla base del triangolo isoscele sono supplementari cioè la loro somma è uguale a 180°. L'angolo acuto del trapezio isoscele è invece complementare con la metà dell'angolo al vertice del triangolo isoscele. Quindi all'interno della tassellazione abbiamo due configurazioni diverse. In una si incontrano due trapezi e due triangoli, nell'altra si incontrano due triangoli e quattro trapezi.
Sezioniamo il cubo grande con un piano passante per cinque spigoli.
Quali sezioni si formeranno nei cubi più piccoli attraversati da questo piano?
Triangoli, trapezi e pentagoni che insieme ricoprono senza sovrapposizioni la sezione pentagonale del cubo grande. All'interno della tassellazione abbiamo quattro configurazioni diverse:
1)due trapezi un triangolo e un pentagono,
2)due trapezi e due pentagoni,
3)un trapezio, un triangolo e due pentagoni,
4)due triangoli e due pentagoni.