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I modelli di cubo
Guardando una scatola a forma di cubo osserviamo che ha 6 facce quadrate, 12 spigoli e 8 vertici. Ogni spigolo collega due vertici e da ogni vertice partono tre spigoli ma anche tre facce.
Se tagliamo la scatola lungo alcuni spigoli possiamo distendere tutte le facce su uno stesso piano. Otteniamo cosí lo sviluppo piano del cubo.
Ma quanti spigoli bisogna tagliare per ottenere lo sviluppo del cubo nel piano? Se tagliamo 1 o 2 o 3 spigoli non riusciamo a distendere tutta la superficie della scatola, se invece tagliamo tutti gli spigoli otteniamo sei quadrati separati. Dopo alcuni tentativi possiamo facilmente scoprire che è sufficiente tagliare solo 7 opportuni spigoli. Ora, prendiamo dei modelli di cubo costruiti con un cartoncino partendo dallo sviluppo a croce della figura precedente.
E operiamo sette opportuni tagli lungo i suoi spigoli, e poi distendiamo la superficie su un piano. La forma piana dello sviluppo del cubo è sempre la stessa? No! Si possono ottenere ben 11 diversi sviluppi del cubo.
Quando dallo sviluppo piano ricomponiamo il cubo nello spazio, tutti i quadrati vengono piegati lungo il lato comune con un angolo di 90°. Questo perchè due facce adiacenti, cioè due facce che hanno uno spigolo in comune sono sempre perpendicolari.
Le due facce adiacenti appartengono a due semipiani perpendicolari che si incontrano lungo una retta.
I due semipiani dividono lo spazio in due parti, ciascuna delle quali viene chiamata angolo diedro o semplicemente diedro.
Nel nostro caso i due semipiani, essendo perpendicolari, formano un angolo diedro convesso di 90°.
Quanti diedri sono presenti in un cubo? Le facce del cubo individuano 12 diedri, uno per ogni spigolo, tutti di misura 90° e quindi tutti congruenti.
Nel cubo vi sono anche facce che non hanno nessuno spigolo in comune, sono facce opposte. Queste facce appartengono a due piani che mantengono sempre la stessa distanza e quindi sono paralleli.
Quante coppie di facce opposte ci sono in un cubo? Sono 3 una per ogni direzione. Ogni faccia del cubo ha quattro facce adiacenti e una faccia opposta.
Nel cubo ci sono terne di facce che si intersecano in un solo punto. Appartengono a tre piani, a due a due perpendicolari, che hanno un solo punto in comune. Questi tre piani formano un angolo solido chiamato angoloide (parte di spazio delimitato da tre o più facce con un vertice in comune).
Quanti angoloidi sono presenti in un cubo? Il numero degli angoloidi coincide con il numero dei vertici del cubo. Tutti gli angoloidi del cubo sono racchiusi da tre quadrati ovvero da tre angoli di 90° e la loro misura è quindi di 270°. Pertanto gli otto angoloidi del cubo sono congruenti fra loro. Il cubo è considerato un poliedro regolare perchè è limitato da poligoni regolari congruenti con angoloidi congruenti.
Costruiamo lo scheletro di un cubo per concentrare la nostra attenzione sugli spigoli e sui vertici. Lo scheletro di un cubo può essere realizzato in vari modi; incollando tra loro dodici stecchini oppure collegando tra loro dodici cannucce da bibite con dei nettapipe oppure utilizzando delle sfere e dei magneti del famoso gioco geomag.
Ogni spigolo congiunge 2 vertici e separa due facce. Due spigoli consecutivi sono perpendicolari tra loro (appartengono a due rette perpendicolari). Ci sono spigoli paralleli; appartengono a rette che giacciono sullo stesso piano e non hanno alcun punto in comune. Ma ci sono anche degli spigoli che non sono nè incidenti nè paralleli tra loro come quelli in figura segnati in rosso.
Questi spigoli appartengono a rette che non hanno alcun punto in comune ma non sono situate su uno stesso piano
Sono rette sghembe e quindi questi spigoli sono detti sghembi. Da ogni vertice partono tre spigoli e tre facce, i vertici consecutivi sono collegati da uno spigolo e ogni faccia contiene 4 vertici. Ma ci sono anche vertici che non appartengono alla stessa faccia, sono i vertici opposti. In un cubo ci sono quattro coppie di vertici opposti e ogni segmento che congiunge due vertici opposti rappresenta una diagonale del cubo. Con il nostro scheletro di cubo possiamo mettere in evidenza le 4 diagonali tirando un filo tra due vertici opposti. Possiamo cosí scoprire che le 4 diagonali oltre ad essere congruenti si incontrano in uno stesso punto che è il punto medio di ciascuna diagonale.
Il punto di incontro delle diagonali rappresenta il centro del cubo ed è anche il centro sia della sfera inscritta sia della sfera circoscritta al cubo.
Incolliamo una faccia al il nostro scheletro di cubo.
Osserviamo che quattro spigoli sono perpendicolari alla faccia incollata. Sono gli spigoli che appartengono alle facce consecutive a quella incollata. Ad esempio, in figura gli spigoli AE, BF, CG e DH sono perpendicolare alla faccia EFGH. Vi sono anche 4 spigoli che sono paralleli alla faccia incollata. Sono gli spigoli che appartengono alla faccia opposta a quella incollata. Prendiamo una squadra con un angolo di 90° e poniamola in modo che un bordo appoggi sul piano della faccia incollata e l'altro bordo aderisca allo spigolo AE. Il bordo della squadra che appoggia sulla faccia rappresenta una linea che giace nel piano della faccia e passa per il vertice E. Questa linea è sicuramente perpendicolare allo spigolo AE. La posizione del bordo della squadra che appoggia sulla faccia incollata possiamo cambiarla come vogliamo lasciando sempre fermo l'altro bordo che aderisce allo spigolo AE. Per ogni spostamento otteniamo sempre una retta che appartiene al piano, passa per il vertice E ed è perpendicolare allo spigolo AE. In conclusione tutte le infinite rette che appartengono al piano della faccia EFGH e passano per il punto E sono perpendicolari allo spigolo AE. Lo stesso ragionamento vale anche per gli spigoli BF, CG, DH. In particolare il triangolo AEG costituito dallo spigolo AE dalla diagonale EG della faccia EFGH e dalla diagonale del cubo AG è sicuramente retto in E.
