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Riflessioni con più specchi
Tagliamo il cubo con due piani ortogonali e passanti per i punti medi degli spigoli di due facce opposte.
Il cubo è cosí diviso in quattro parallelepipedi a base quadrata. Prendiamo uno dei quattro parallelepipedi e appoggiamo due sue facce laterali a due specchi incidenti perpendicolari uniti con il nastro adesivo telato. Quante immagini vediamo? Che cosa notiamo? Le immagini non sono due ma tre, perchè ciascuno dei due specchi riflette anche l'altro specchio e crea la terza immagine. Il parallelepipedo e le tre immagini disposte intorno al lato comune dei due specchi ricostruiscono il cubo.
Il parallelepipedo a base quadrata costituisce dunque un modulo attraverso il quale è possibile ricostruire l'intero cubo tramite due specchi perpendicolari.
Tagliamo il cubo con due piani ortogonali e passanti per le diagonali di due facce opposte.
Il cubo è cosí diviso in quattro prismi con le basi triangolari (le basi sono triangoli rettangoli isosceli aventi per cateti le semi diagonali di una faccia e per ipotenusa uno spigolo del cubo). Prendiamo uno dei quattro prismi e appoggiamo due sue facce laterali a due specchi incidenti perpendicolari. Vedremo di nuovo che le immagini sono tre e il prisma e le tre immagini disposte intorno al lato comune dei due specchi ricostruiscono il cubo.
Anche il prisma a base triangolare costituisce dunque un modulo attraverso il quale è possibile ricostruire l'intero cubo tramite due specchi perpendicolari.
Tagliamo il cubo sia con due piani ortogonali e passanti per i punti medi degli spigoli di due facce opposte sia con due piani passanti per le diagonali delle due facce opposte.
Il cubo è cosè diviso in otto prismi a basi triangolari (le basi sono dei triangoli rettangoli isosceli aventi per cateti i semi spigoli e per ipotenusa la semi diagonale di una faccia). Prendiamo uno degli otto prismi e appoggiamo due sue facce laterali a due specchi incidenti che formano un angolo di 45°. Quante immagini vediamo? Che cosa notiamo? Le immagini sono sette e il prisma e le sette immagini disposte intorno al lato comune dei due specchi ricostruiscono il cubo.
Quando poniamo un oggetto davanti a uno specchio abbiamo la sensazione che la sua immagine viene riprodotta all'interno dello specchio. In realtà, i raggi di luce che partendo dall'oggetto colpiscono lo specchio giungono ai nostri occhi dopo aver subito una riflessione.
Noi però, percepiamo l'immagine come se i raggi avessero viaggiato in linea retta e cioè come se l'immagine si trovasse effettivamente dall'altra parte dello specchio. Questa immagine che percepiamo viene detta immagine virtuale dell'oggetto. L'oggetto reale e la sua immagine virtuale sono simmetrici rispetto allo specchio.
Cerchiamo di capire perchè quando un oggetto reale è posto tra due specchi incidenti con un angolo diedro convesso si formano varie immagini virtuali dell'oggetto reale, tute disposte intorno al lato comune dei due specchi. Consideriamo due specchi incidenti con un angolo diedro convesso e un raggio di luce che colpisce uno dei due specchi. Questo raggio di luce viene riflesso sia dallo specchio che materialmente colpisce sia dagli specchi virtuali, cioè dagli specchi riflessi dall'altro specchio. Tutti questi specchi virtuali, che si formano dalle rispettive riflessioni tra i due specchi, si dispongono intorno al lato comune tra i due specchi reali. Quanti specchi virtuali si formano? Questo numero dipende dall'angolo diedro convesso tra i due specchi reali. Facciamo degli esperimenti. Prendiamo due specchi rettangolari uguali e uniamoli lungo un lato con il nastro adesivo telato in modo da poter cambiare a nostra scelta l'angolo diedro convesso tra i due specchi.
Fissiamo l'angolo diedro a 90°,
Poniamo un oggetto reale tra i due specchi e guardiamo lungo il lato comune ai due specchi. Che cosa vediamo? Quattro copie dell'oggetto una reale e tre virtuali e quattro specchi due reali e due virtuali.
Lo specchio a riflette l'oggetto reale e riflette anche lo specchio b che forma uno specchio virtuale b con un angolo di 90° rispetto allo specchio a. Lo specchio b riflette l'oggetto reale e riflette anche lo specchio a che forma uno specchio virtuale a con un angolo di 90° rispetto allo specchio b. Lo specchio virtuale b riflette l'immagine virtuale a nell'immagine virtuale ab. Lo specchio virtuale b riflette l'immagine virtuale b che si sovrappone perfettamente all'immagine virtuale ab. Pertanto, le immagini virtuali sono tre. I quattro specchi hanno un lato in comune e formano quattro angoli diedri di 90° e dividono equamente lo spazio intorno al lato comune dei due specchi e dunque le immagini riflesse ritornano su se stesse dopo quattro riflessioni.
Fissiamo l'angolo diedro a 60°,
Poniamo un oggetto reale tra i due specchi e guardiamo lungo il lato comune ai due specchi. Che cosa vediamo? Sei copie dell'oggetto una reale e cinque virtuali e sei specchi due reali e quattro virtuali.
I sei specchi hanno un lato in comune e formano sei angoli diedri di 60° e dividono equamente lo spazio intorno al lato comune dei due specchi e dunque le immagini riflesse ritornano su se stesse dopo sei riflessioni.
Fissiamo l'angolo diedro a 45°,
Poniamo un oggetto reale tra i due specchi e guardiamo lungo il lato comune ai due specchi. Che cosa vediamo? Otto copie dell'oggetto una reale e sette virtuali e otto specchi due reali e sei virtuali. Gli otto specchi hanno un lato in comune e formano otto angoli diedri di 45° e dividono equamente lo spazio intorno al lato comune dei due specchi e dunque le immagini riflesse ritornano su se stesse dopo otto riflessioni.
Otteniamo sempre un numero intero di immagini virtuali dell'oggetto reale? Se l'angolo diedro tra i due specchi non è un sottomultiplo di 180° lo spazio intorno al lato comune dei due specchi non viene diviso equamente dagli specchi virtuali e quindi avremo almeno una immagine virtuale spezzata e dunque non congruente all'oggetto reale. Con un angolo di 0° cioè con due specchi paralleli quante immagini si hanno? In teoria si hanno infinite immagini. Si intuisce che il numero delle immagini è finito quando l'angolo tra i due specchi è un sottomultiplo di un angolo di 180°. Sperimentalmente si può verificare che il prodotto tra l'ampiezza dell'angolo e la somma delle immagini e dell'oggetto è sempre uguale a 360°.
Tagliamo il cubo con i tre piani di simmetria paralleli a due facce opposte e a due a due ortogonali.
Il cubo è cosí diviso in otto cubi più piccoli. Prendiamo uno degli otto cubi e appoggiamolo a tre specchi disposti in modo da formare a due a due un angolo di 90°. Quante immagini vediamo? Che cosa notiamo? Le immagini sono sette e il cubo più piccolo e le sette immagini ricostruiscono il cubo iniziale. Si hanno sette immagini perchè lo specchio orizzontale riflette sia l'oggetto reale (il cubo più piccolo) sia le tre immagini riflesse dai due specchi verticali.
Tagliamo il cubo sia con due piani ortogonali e passanti per i punti medi degli spigoli di due facce opposte sia con due piani passanti per le diagonali delle due facce opposte sia con un piano parallelo alle due facce opposte e passante per i punti medi degli spigoli delle altre facce.
Il cubo è cosí diviso in sedici prismi. Prendiamo uno di questi prismi e appoggiamolo a tre specchi disposti in modo che due specchi formino un angolo di 45° e il terzo sia perpendicolare ai primi due. Quante immagini vediamo? Che cosa notiamo? Le immagini sono quindici e il prisma e le quindici immagini ricostruiscono il cubo. Si hanno quindici immagini perchè lo specchio orizzontale riflette sia l'oggetto reale sia le sette immagini riflesse dai due specchi verticali.
