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Le sezioni del cubo (seconda parte)
Alcune considerazioni sulle sezioni trapezoidali isoscele
Abbiamo visto che i due trapezi isosceli massimi sono congruenti e simmetrici rispetto al centro del cubo.
Cosa possiamo dire dei due insiemi di trapezi isosceli non massimi? Prendiamo il nostro modello di scheletro del cubo. Con due elastici mettiamo in evidenza le due sezioni trapezoidali massime. Poi con un filo teso tra due vertici opposti mettiamo in evidenza l'altra diagonale della faccia superiore del cubo. Che cosa notiamo?
La base maggiore di un trapezio divide il nostro filo (diagonale della faccia) in due parti congruenti, mentre la base minore dell'altro trapezio divide la metà del nostro filo in due parti congruenti. Spostiamo allo stesso modo i due elastici parallelamente e da parti opposte rispetto al punto medio della diagonale della faccia superiore. Che cosa notiamo?
Si formano due trapezi isosceli congruenti e simmetrici rispetto al centro del cubo. Possiamo sovrapporre i due trapezi mediante una rotazione di 180° con centro nel punto medio della diagonale del cubo. Spostando ancora parallelamente i due elastici nei due versi opposti otteniamo sempre coppie di trapezi isosceli congruenti e simmetrici rispetto al centro del cubo.
Quando i due trapezi simmetrici degenerano in due triangoli isosceli anche questi saranno congruenti e simmetrici rispetto al centro del cubo.
Alcune considerazioni sulle sezioni esagonali comprese tra le due sezioni trapezoidali isoscele massime
Prendiamo il nostro modello di scheletro del cubo. Con due elastici mettiamo in evidenza le due sezioni trapezoidali massime. Posizioniamo un terzo elastico in modo che sia esattamente a metà tra i due trapezi. Questo elastico evidenzia il contorno di una sezione esagonale. Che cosa possiamo dire di questo esagono?
Ha tre coppie di lati paralleli e i due lati che giacciono rispettivamente sulla faccia superiore e inferiore sono congruenti fra loro. Sono congruenti fra loro pure gli altri quattro lati e dunque l'esagono non è equilatero. La superficie dell'esagono interseca una diagonale del cubo nel suo punto medio.
Proviamo a spostare, parallelamente a se stesso, l'elastico che rappresenta il contorno dell'esagono da parti opposte rispetto al centro del cubo in modo che sia sempre compreso tra le due sezioni trapezoidali. Che cosa osserviamo?
Si formano coppie di esagoni non equilateri simmetrici rispetto al centro del cubo.
Alcune considerazioni sulle sezioni triangolari equilatere
Prendiamo il nostro modello di scheletro del cubo. Con un filo teso tra due vertici opposti mettiamo in evidenza una diagonale del cubo. Poi con due elastici mettiamo in evidenza le due sezioni triangolari equilatere massime perpendicolari alla nostra diagonale. Osserviamo questo modello da vari angolazioni.
Che cosa notiamo? La diagonale del cubo viene divisa dai due triangoli in tre parti congruenti. Il punto medio della diagonale è equidistante dai due triangoli equilateri. I due triangoli equilateri sono congruenti e simmetrici rispetto al punto medio della diagonale. Possiamo sovrapporre i due triangoli mediante una rotazione di 180° con centro nel punto medio della diagonale. La diagonale del cubo interseca i due triangoli nel loro centro (ricordiamoci che in un triangolo equilatero baricentro, ortocentro, circocentro e incentro sono coincidenti e tale punto è considerato il centro del triangolo).
I due triangoli si possono sovrapporre anche con un'altra trasformazione geometrica; si ruota di 120° un triangolo rispetto al suo centro e poi lo si trasla con un vettore che ha la stessa direzione della diagonale del cubo e una intensità uguale a 1/3 della diagonale. Se il cubo ha lo spigolo di misura unitaria allora, il perimetro di ciascun triangolo equilatero massimo sarà uguale a 3/√2 e le rispettive aree saranno uguali a √3/2.
Se consideriamo una sola delle due sezioni triangolari vediamo che il cubo viene diviso da questa sezione in due poliedri. Uno dei due poliedri è una piramide a base triangolare.
Inoltre, l'altezza della piramide è uguale a 1/3 della misura della diagonale del cubo. Possiamo allora determinare il volume di questa piramide e costatare che è esattamente 1/6 del volume del cubo.
Esaminiamo le sezioni triangolari equilatere non massime perpendicolari a una diagonale del cubo e situati da parti opposte rispetto al punto medio della diagonale. Che cosa possiamo osservare? I triangoli sono a due a due congruenti e simmetrici rispetto al punto medio della diagonale. Inoltre, la diagonale del cubo interseca anche questi triangoli equilateri nel loro centro.
Prendiamo in consideriamo tutte le sezioni triangolari equilatere poste a destra (o a sinistra) rispetto al punto medio della diagonale. Tali triangoli ovviamente sono simili tra loro: hanno la stessa forma perchè conservano gli angoli e il rapporto tra lati corrispondenti. In più hanno anche i lati corrispondenti paralleli. Passando da un triangolo all'altro non solo si conserva la forma ma si conserva anche la direzione dei lati corrispondenti. Questi triangoli sono omotetici perchè oltre ad essere simili sono anche disposti nello stesso modo. Possiamo vedere che le rette passanti per i punti corrispondenti si incontrano in uno stesso punto (un vertice del cubo) che è il centro dell'omotetia. In altre parole, possiamo dire che in questo insieme di triangoli è presente un ingrandimento (o un rimpicciolimento) in scala. Il triangolo equilatero massimo puù essere considerato un ingrandimento omotetico di uno dei triangoli equilateri.
Alcune considerazioni sulle sezioni esagonali
Posizioniamo un elastico intorno allo scheletro del cubo in modo da ottenere il contorno di una sezione esagonale regolare (i vertici dell'esagono sono punti medi di 6 opportuni spigoli del cubo). Possiamo osservare, ma anche determinare, che ogni lato dell'esagono è esattamente la metà della diagonale di una faccia del cubo. Pertanto, il perimetro dell'esagono è uguale a tre volte la lunghezza della diagonale di una faccia.
Ma anche il perimetro del triangolo equilatero massimo è uguale a tre volte la lunghezza della diagonale di una faccia. Le due figure sono allora isoperimetriche. Dimostriamo sperimentalmente, in modo semplice, che le due figure sono isoperimetriche. Consideriamo uno dei possibili sviluppi del cubo e tracciamo due opportuni segmenti paralleli. Il segmento rosso coincide con le diagonali di tre quadrati, quello blu passa per i punti medi di alcuni lati dei 6 quadrati. I due segmenti sono naturalmente congruenti possiamo sovrapporli con una traslazione.
Ora, partendo da questo sviluppo assembliamo nello spazio il cubo. Cosa osserviamo sulla superficie del cubo?
Il segmento rosso dà origine al triangolo equilatero massimo e il segmento blu all'esagono regolare. Questo vuol dire che il passaggio dal triangolo equilatero all'esagono regolare avviene conservando la lunghezza del perimetro. Ma come abbiamo visto precedentemente il passaggio tra il triangolo equilatero e l'esagono regolare non è immediato. Tra le due figure c'è un insieme (infinito) di esagoni non regolari. Anche questi esagoni non regolari sono isoperimetrici al triangolo equilatero massimo e quindi isoperimetrici all'esagono regolare? Prendiamo lo sviluppo del cubo precedente e tracciamo un segmento verde tra quello rosso e quello blu e parallelo a entrambi. Anche questo segmento verde è naturalmente congruente agli altri due segmenti.
Riformiamo di nuovo il cubo. Il segmento verde cosa genererà sulla superficie del cubo?
Un esagono non regolare. Cosa possiamo concludere? Che anche l'esagono verde non regolare ha lo stesso perimetrico del triangolo equilatero massimo e all'esagono regolare. E questo ragionamento puù essere esteso a tutti gli esagoni non regolari. In conclusione possiamo dire che il piano sezione erpendicolare a una diagonale del cubo via via che si muove parallelamente a se stesso genera:
Prima un insieme di triangoli equilateri con perimetri sempre crescenti fino ad uno con perimetro massimo pari a tre volte la diagonale di una faccia del cubo.
Poi un insieme di esagoni non regolari isoperimetrici tra loro e isoperimetrici al triangolo massimo.
Poi un esagono regolare isoperimetrico agli altri esagoni.
Poi di nuovo un insieme di esagoni non regolari isoperimetrici tra loro e isoperimetrici al triangolo massimo.
Poi di nuovo un triangolo equilatero massimo isoperimetrico all'altro triangolo equilatero massimo.
Infine, un insieme di triangoli equilateri con perimetri decrescenti.
Cosa possiamo dire delle aree di queste figure? Il triangolo equilatero massimo è equivalente all'esagono regolare? Gli esagoni non regolari sono equivalenti fra loro?
Si vede immediatamente che l'estensione dell'esagono regolare è maggiore di quella del triangolo equilatero massimo. Se la misura dello spigolo del cubo è unitaria allora il lato dell'esagono è lungo 1/2√2, l'apotema dell'esagono è lunga 1/4√6 e l'area dell'esagono risulta pari a 3/4√3. Se confrontiamo questo valore con quello dell'area del triangolo equilatero massimo determinata precedentemente vediamo che l'estensione dell'esagono regolare è 1,5 volte più grande di quella del triangolo.
Affrontiamo ora il problema degli esagoni. Come abbiamo visto le sezioni esagonali del cubo costituiscono una famiglia di esagoni isoperimetrici. Ora, si sa che in un insieme di figure isoperimetriche la figura più regolare è quella che ha l'area massima. Quindi tra tutte le sezioni esagonali è l'esagono regolare quello che ha l'area massima. In questa famiglia di esagoni a mano a mano che le lunghezze dei lati si avvicinano sempre di più a quella dell'esagono regolare cresce contemporaneamente l'estensione. In conclusione gli esagoni non regolari sono isoperimetrici ma non equivalenti all'esagono regolare.
Posizioniamo due elastici attorno allo scheletro del cubo in modo da formare il contorno di due sezioni esagonali di cui una regolare. Che cosa osserviamo? I due esagoni hanno i lati corrispondenti paralleli e quindi hanno gli angoli corrispondenti congruenti.
Siccome l'esagono regolare, come ben sappiamo, è equiangolo allora anche l'esagono non regolare è equiangolo. Dunque gli angoli dell'esagono non regolare misurano rispettivamente 120°. Ovviamente questa proprietà è comune a tutte le sezioni esagonali. Potevamo capire che gli esagoni non regolari erano equiangoli ragionando sullo sviluppo piano del cubo della figura precedente. Quando, partendo da questo sviluppo, abbiamo assemblato nello spazio il cubo i due segmenti paralleli, quello blu e quello verde, subiscono la stessa rotazione perchè appartengono alle stesse facce del cubo. Pertanto, gli angoli degli esagono che vengono a formarsi sulla superficie del cubo devono avere la stessa ampiezza. Osservando ancora lo scheletro del cubo con l'elastico che mette in evidenza il contorno di un esagono non regolare possiamo notare che l'esagono ha tre assi di simmetria che si intersecano in uno stesso punto.
E' il punto d'intersezione tra la superficie dell'esagono e la diagonale del cubo. L'esagono non regolare ha quindi un centro di simmetria ed è dunque inscrittibile in un cerchio. Anche questa proprietà è valida per tutte le sezioni esagonali ottenibili con un piano secante perpendicolare a una diagonale.
Esaminiamo le sezioni degli esagoni non regolari perpendicolari a una diagonale del cubo e situati da parti opposte rispetto al punto medio della diagonale. Che cosa possiamo osservare? Anche gli esagoni non regolari sono a due a due congruenti e simmetrici rispetto al punto medio della diagonale. I segmenti che congiungono i vertici corrispondenti dei due esagoni passano tutti per il punto medio della diagonale del cubo.
