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Le sezioni del cubo

Se tagliamo un cubo con un piano il cubo verrà diviso in due poliedri e l'intersezione fra il cubo e il piano è un poligono chiamato sezione piana del cubo. Sezionando un cubo con un piano quali poliedri possiamo ottenere? Quali sezioni possiamo ottenere? Procediamo con ordine provando le varie disposizioni del piano rispetto al cubo.

• Piano parallelo a una delle facce del cubo.

  Se tagliamo il cubo con un piano parallelo a una delle sue facce, il cubo verrà diviso in due parallelepipedi rettangoli e la sezione sarà ovviamente un quadrato.
  

  

  Possiamo vedere il perimetro di questo quadrato mettendo ad esempio, un elastico attorno ai quattro spigoli laterali dello scheletro di un cubo in modo che ogni lato dell'elastico sia parallelo a uno spigolo della faccia superiore.
  

  

  Se spostiamo l'elastico parallelamente a se stesso, in su o in giù, la sezione del cubo rimarrà sempre un quadrato congruente a una faccia del cubo. Invece, i due parallelepipedi rettangoli non sempre sono congruenti. Si ottengono due parallelepipedi congruenti solo se l'elastico passa per i punti medi dei quattro spigoli.

• Piano passante lungo le diagonali di due facce opposte.

  Se il piano che taglia il cubo passa lungo le diagonali di due facce opposte, il cubo verrà diviso in due prismi triangolari congruenti e la sezione piana sarà un rettangolo.
  

  

  Vediamo questa situazione mettendo attorno allo scheletro del cubo un elastico lungo due spigoli opposti. Se spostiamo il nostro elastico parallelamente alle diagonali di due facce opposte il cubo verrà diviso ancora in due prismi triangolari? No. Un prisma sarà ancora triangolare l'altro invece sarà pentagonale. Ma le sezioni piane del cubo rimarranno ancora rettangolari.
  

  

  Le sezioni rettangolari sono tutte congruenti tra loro? No. Il rettangolo che ha per lati le diagonali di due facce opposte ha l'estensione massima. Le sezioni rettangolari sono simili tra loro? No. Perchè non si conserva il rapporto tra le dimensioni (una dimensione ha sempre la stessa lunghezza; quella dello spigolo del cubo). Se la misura dello spigolo del cubo è unitaria allora le dimensioni del rettangolo massimo sono rispettivamente 1 e √2.

• Piano passante per i 4 spigoli laterali e non parallelo a una faccia.

  Tagliamo con un piano i quattro spigoli laterali del cubo in modo che ogni spigolo venga segato a un'altezza diversa. Che tipo di quadrilatero otteniamo? Che cosa possiamo dire sui lati di questo quadrilatero? Mettiamo, ancora una volta, attorno allo scheletro del cubo un elastico in modo da ottenere il contorno del nostro quadrilatero e vediamo di intuire quali relazioni esistono tra i lati del quadrilatero.
  

  

  Se guardiamo lateralmente il nostro modello vediamo che i lati opposti del quadrilatero sono a due a due paralleli. Non è una coincidenza ma una verifica sperimentale di una proprietà geometrica spaziale: se un piano interseca due piani paralleli (ricordiamoci che nel cubo le facce opposte sono parallele e quindi appartengono a due piani paralleli) allora le rette intersezioni sono parallele. Un quadrilatero che ha lati opposti paralleli è un parallelogramma. Se costruiamo un modellino di un parallelogramma, imperniando a due a due quattro asticciole, ci rendiamo conto che per avere lati opposti paralleli dobbiamo necessariamente connettere lati opposti congruenti.
  

  

  La sezione quadrilatera è quindi un parallelogramma. E' un parallelogramma particolare? Cioè è un quadrato, un rettangolo o un rombo? Non è nè un quadrato nè un rombo perchè possiamo facilmente costatare che i lati non sono tutti congruenti. Non è nemmeno un rettangolo perchè anche le diagonali non sono congruenti. Quindi è un parallelogramma generico. In questo caso il piano secante divide il cubo in due poliedri non congruenti aventi 6 facce.
  
  Spostiamo il piano sezione in modo che passi per i punti medi di due spigoli laterali opposti e per i vertici opposti di due spigoli laterali opposti. Che tipo di parallelogramma si ottiene? I lati consecutivi sono congruenti e dunque può essere un quadrato o un rombo. Le diagonali sono congruenti? No, e quindi è un rombo. Infatti, non è inscrivibile in una circonferenza.
  
  

  
  

• Piano passante per la diagonale di una faccia e per i punti medi di due spigoli consecutivi della faccia opposta.

  Il cubo viene cosí diviso in due poliedri uno con 5 facce e l'altro con 6 facce.
  

  

  Con questo piano quale sezione del cubo otteniamo? Un trapezio isoscele. I due segmenti che giacciono sulle due facce opposte del cubo sono paralleli ma non sono congruenti (la base maggiore è il doppio della base minore), mentre gli altri due segmenti che giacciono sulle due facce consecutive sono congruenti ma non sono paralleli. Possiamo evidenziare il contorno del trapezio mettendo attorno allo scheletro del cubo un elastico. Ora, immaginiamo di spostare l'elastico parallelamente a se stesso. Quali sezioni piane del cubo otteniamo?
  

  

  Muovendo l'elastico in avanti otteniamo altri trapezi isosceli con perimetri e aree decrescenti. Spostando l'elastico le basi maggiore e minore dei vari trapezi diminuiscono gradualmente. In particolare la base minore diminuisce fino a ridursi a un punto (l'elastico tocca un vertice del cubo) e il trapezio degenera in un triangolo isoscele. In questa situazione il piano sezione interseca solo tre spigoli tutti uscenti dallo stesso vertice. Spostando ancora in avanti l'elastico si ottengono altri triangoli isosceli con perimetri e aree decrescenti.
  
  Torniamo al nostro primo trapezio isoscele. Se spostiamo l'elastico, parallelamente a se stesso, all'indietro otteniamo altri trapezi e triangoli isosceli?
  

  

  Otteniamo un esagono perchè l'elastico, ora, tocca non 4 ma 6 spigoli del cubo. L'esagono non è regolare ma ha tre coppie di lati paralleli. Continuando a spostare l'elastico otteniamo ancora altri esagoni non regolari. Però quando l'elastico toccherà i punti medi dei due spigoli della faccia superiore del cubo riappare di nuovo un trapezio isoscele congruente a quello iniziale ma simmetrico rispetto a un punto.
  

  

  Congiungendo i punti corrispondenti dei due trapezi isosceli vedremo che questi segmenti si intersecano in uno stesso punto che è il punto medio di una diagonale del cubo.
  

  

  Continuiamo a spostare l'elastico. Quali sezioni otteniamo? Altri trapezi isosceli con perimetri e aree decrescenti e altri triangoli isosceli con perimetri e aree decrescenti.
  

  

• Piano perpendicolare a una diagonale del cubo.

  Consideriamo un piano sezione perpendicolare a una diagonale del cubo partendo da un vertice della diagonale del cubo e muoviamo a poco a poco questo piano parallelamente a se stesso da destra verso sinistra. Quali sezioni otteniamo?
  

  

  La prima sezione è un punto perchè il piano sezione tocca un solo vertice del cubo, quello comune a tre facce. Poi il piano interseca tre spigoli uscenti dallo stesso vertice e quindi la sezione del cubo è ovviamente un triangolo. Che tipo di triangolo? Un triangolo equilatero; il piano taglia i tre spigoli alla stessa distanza dal vertice comune. A mano a mano che spostiamo il nostro piano, parallelamente a se stesso, la sezione resta un triangolo equilatero ma con il perimetro e area crescente. Appare il triangolo equilatero massimo quando il piano passa per tre vertici del cubo. Il triangolo equilatero massimo ha per lati le diagonali delle tre facce.
  

  

  Spostando ancora il piano sezione otteniamo ancora sezioni triangolari?
  

  

  No. Otteniamo un esagono non regolare perchè il piano, ora, interseca non 3 ma 6 spigoli del cubo. Osservando attentamente questo esagono vediamo che ha i lati opposti paralleli e due terne di lati uguali, disposti in modo che due lati consecutivi abbiano lunghezze diverse. Muovendo ancora il piano gli esagoni assumono via via una forma sempre più vicina a quella di un esagono regolare. Infatti, in questi esagoni le differenze tra le lunghezze di due lati consecutivi diminuiscono progressivamente. Riusciamo ad ottenere una sezione esagonale regolare?
  

  

  Si, quando il piano passa per il punto medio della diagonale. In questa posizione il piano taglia i 6 spigoli nei loro punti medi. Spostando ancora il piano sezione possiamo vedere in successione una serie di esagoni non regolari, un altro triangolo equilatero massimo, e una serie di triangoli equilateri di perimetri e aree decrescenti. Ecco come possiamo vedere tutte queste sezioni mettendo il solito elastico intorno allo scheletro del cubo.
  

  

• Piano passante per solo 5 spigoli del cubo.

  Ecco ad esempio uno di questi piani.
  

  

  Come si può osservare il pentagono ha due coppie di lati paralleli. Sono le coppie di lati che appartengono a facce opposte del cubo. Ora sistemiamo intorno allo scheletro di un cubo un elastico in modo da ottenere il contorno di un pentagono e poi muoviamolo parallelamente a se stesso e vediamo quali sezioni possiamo ottenere.
  

  

  Si ottengono altri pentagoni, trapezi scaleni, triangoli scaleni ed esagoni non regolari.

In definitiva abbiamo visto che sezionando un cubo possiamo ottenere come sezione piana alcuni tipi di poligoni (triangoli equilateri, triangoli isosceli, triangoli scaleni, parallelogrammi, trapezi, pentagoni non regolari con due coppie di lati paralleli, esagoni regolari e esagoni non regolari con tre coppie di lati paralleli). Ma perchè non siamo riusciti a ottenere come sezione un quadrilatero generico? Cioè un quadrilatero che non abbia nessuna coppia di lati paralleli? Perchè non siamo riusciti a ottenere come sezione un pentagono regolare? Perchè non siamo riusciti a ottenere come sezione un esagono o un pentagono generico, cioè senza coppie di lati paralleli?

Per ottenere una sezione quadrilatera il piano deve necessariamente tagliare quattro facce del cubo. Ora tra queste quattro facce c'è sempre almeno una coppia di facce opposte cioè di facce parallele. Pertanto, in ogni sezione quadrilatera almeno due lati sono necessariamente paralleli e dunque possiamo solo ottenere trapezi o parallelogrammi se le coppie di facce opposte sono due. Per ottenere una sezione pentagonale il piano deve tagliare cinque facce del cubo. Tra queste cinque facce ci sono sempre due coppie di facce opposte e dunque le sezioni pentagonali hanno sempre due coppie di lati paralleli. Un pentagono regolare non ha coppie di lati paralleli e quindi non può essere ottenuto come sezione piana di un cubo. Per ottenere una sezione esagonale il piano deve tagliare necessariamente le sei facce del cubo che sono a due a due parallele e dunque ogni sezione esagonale deve per forza avere tre coppie di lati paralleli. Naturalmente con un solo piano non possiamo avere sezioni piane del cubo con un numero di lati maggiore di sei.