;
I solidi Platonici
Nel piano un poligono convesso è detto regolare se ha tutti i lati e gli angoli congruenti e possiamo sempre costruirne uno con un numero qualunque di lati (triangolo equilatero, quadrato, pentagono regolare, esagono regolare, ecc.). Nello spazio un poliedro convesso è detto regolare quanto ha per facce poligoni regolari congruenti e ha tutti gli angoloidi congruenti ad esempio il cubo è un poliedro regolare convesso. Quanti tipi di poliedri regolari convessi possiamo costruire oltre al cubo? Sono infiniti come accade nel piano per i poligoni regolari? Ebbene possiamo costruire solo 5 tipi di poliedri regolari convessi. Perchè non esistono infiniti tipi di poliedri regolari convessi? Questa limitazione dipende esclusivamente dalla proprietà fondamentale degli angoloidi. Scopriamo questa proprietà con l'aiuto di un modello.
Tracciamo un poligono, ad esempio un esagono, e suddividiamolo in sei triangoli. Ora, rimuoviamo uno dei triangoli e pieghiamo il cartoncino lungo ogni lato e infine uniamo i due bordi.
La struttura ottenuta uscirà naturalmente dal piano: i triangoli rimanenti diventano facce dell'angoloide.
Il modello ci suggerisce una proprietà del tutto intuitiva del nostro angoloide:
la somma degli angoli delle facce di un angoloide deve essere minore di 360°.
Infatti, se la somma degli angoli delle facce di un angoloide fosse di 360° allora l'angoloide non potrebbe uscire dal piano perchè rimarrebbe schiacciato sul piano e non potrebbe formare un poliedro. Vediamo allora quali poliedri regolari possiamo costruire tenendo presente questa condizione sugli angoloidi
Poliedri regolari con facce triangolari equilatere.
Se le facce sono triangoli equilateri abbiamo solo tre possibilità per gli angoloidi, che devono essere tutti uguali.
Angoloidi a 3 facce.
La somma degli angoli delle facce di un angoloide è di 3⋅60° = 180°. Il poliedro regolare che si ottiene è un tetraedro regolare cioè, un poliedro regolare con quattro facce triangolari equilatere.
Angoloide a 4 facce.
La somma degli angoli delle facce di un angoloide è di 4⋅60° = 240°. Il poliedro regolare che si ottiene è un ottaedro regolare cioè, un poliedro regolare con otto facce triangolari equilatere.
Angoloide a 5 facce.
La somma degli angoli delle facce di un angoloide è di 5⋅60° = 300°. Il poliedro che si ottiene è un icosaedro regolare cioè, un poliedro regolare con venti facce triangolari equilatere.
Possiamo avere angoloidi con 6 facce di 60°? No, perchè in questo caso l'angoloide degenera in un semispazio e quindi non può formarsi un poliedro.
Poliedri regolari con facce quadrate.
Se le facce sono quadrati, l'unico caso possibile per gli angoloidi è di avere 3 facce. La somma degli angoli delle facce di un angoloide è di 3⋅90° = 270°. Il poliedro regolare che si ottiene è un cubo.
Non abbiamo altre possibilità perchè 4⋅90° = 360°.
Poliedri regolari con facce pentagonali regolari.
Se le facce sono pentagoni regolari, l'unico caso possibile per gli angoloidi è di avere 3 facce. La somma degli angoli delle facce di un angoloide è di 3⋅108° = 324°. Il poliedro regolare che si ottiene è un dodecaedro regolare cioè, un poliedro regolare con 12 facce pentagonali regolari.
Non abbiamo altre possibilità perchè 4⋅108° = 432° > 360°.
Poliedri regolari con facce esagonali regolari.
Se le facce sono esagoni regolari l'angoloide degenera in un piano e quindi non abbiamo nessuna possibilità per costruire un poliedro regolare.
Possiamo quindi concludere che non è possibile costruire dei poliedri regolari aventi per facce dei poligoni con un numero di lati superiore a 5, pertanto esistono solo cinque tipi di poliedri regolari: tetraedro, esaedro, ottaedro, dodecaedro e icosaedro.
Il tetraedro e il cubo erano noti fin dalla più remota antichità, la scoperta del dodecaedro è attribuita ai pitagorici, mentre quelle dell'ottaedro e dell'icosaedro sono attribuite al matematico greco Teeteto (415-369 a.C.). Eppure queste figure sono chiamate solidi platonici. Perchè?
Il filosofo greco Platone (427-348 a.C.) nella sua opera Timeo utilizza questi cinque solidi come atomi geometrici per spiegare il mondo naturale. In questa opera, Platone anticipa in maniera sorprendente alcuni aspetti della chimica e della fisica della materia.
Dalla fisica sappiamo che tutta la materia che ci circonda è costituita da atomi, e in natura esistono solo 92 tipi diversi di atomi (sono 112 se si considerano anche quelli artificiali ottenuti in laboratorio). Dalla chimica sappiamo che una sostanza pura detta elemento è costituita da un unico tipo di atomi, mentre ogni altra sostanza è costituita da due o più diversi tipi di atomi dette molecole. Sappiamo anche che la dimensione di un atomo è molto piccola (10−10 m) e occorrono miliardi e miliardi di atomi per fare un solo grammo di una sostanza qualsiasi. Sono gli atomi i responsabili di ogni proprietà della materia.
Per il filosofo Empedocle (490-430 a.C.) gli elementi fondamentali della materia erano quattro: Terra, Fuoco, Aria e Acqua. Platone nel Timeo attribuisce ad ognuno di questi elementi la forma di un solido regolare. La Terra è l'elemento più stabile e ha la forma del cubo, il Fuoco è l'elemento più leggero e più acuto e ha la forma del tetraedro, l'Aria ha la forma dell'ottaedro e l'Acqua essendo l'elemento più mobile ha la forma dell'icosaedro. Tutte queste figure sono cosí piccole, che non si possono vedere con i nostri occhi ma, se molte di loro si riuniscono insieme è possibile vedere le loro masse. Propose inoltre, che il quinto solido regolare il dodecaedro rappresentasse la forma dell'intero universo.
Dalla chimica sappiamo che ogni sostanza allo stato solido ha una struttura tridimensionale caratteristica. Ad esempio, le molecole del cloruro di sodio, il comune sale da cucina, allo stato solido si dispongono in modo da formare un cubo. Dalla fisica sappiamo che l'atomo non è indivisibile ma è composto da particelle più piccole; elettroni, protoni e neutroni.
Per Platone le facce dei quattro solidi regolari (esclude il dodecaedro) sono costituite da due soli tipi di triangoli rettangoli; il triangolo rettangolo isoscele e il triangolo rettangolo scaleno. Il quadrato deriva dall'unione di quattro triangoli isosceli mentre il triangolo equilatero deriva dall'unione di sei triangoli rettangoli scaleni aventi l'ipotenusa doppia del lato minore.
Dalla chimica sappiamo che nulla si crea, nulla si distrugge, tutto si trasforma.
Mescolando due o più sostanze queste possono scomporsi e ricomporsi (reazioni chimiche) dando origine a sostanze diverse da quelle di partenza. Ad esempio mescolando, l'acido cloridrico con l'idrossido di sodio si ottiene il cloruro di sodio e l'acqua:
HCl + NaOH = NaCl + H2O
Alcuni tipi di atomi (quelli radioattivi) in determinate condizioni possono essere divisi in frammenti più piccoli dando origine ad altri tipi di atomi. Ad esempio spezzando un atomo di uranio (fissione nucleare) si ottiene un atomo di bario e un atomo di cripto più energia.
Alcuni tipi di atomi, chiamati gas nobili tendono a non legarsi con altri atomi.
Alcuni atomi, in determinate condizioni, possono fondersi tra loro dando origine a un atomo più complesso (fusione nucleare). Ad esempio, due atomi di idrogeno fondendosi danno origine a un atomo di elio più energia (questa fusione avviene nelle stelle).
Nel Timeo Platone descrive le interazioni tra i quattro elementi fondamentali utilizzando le proprietà geometriche degli elementi.
L'elemento Terra incontrando il Fuoco è disciolto e le sue particelle vagheranno fino a rincontrarsi per formare di nuovo la Terra (gas nobile) perchè esse non possono dar origine ad un altro elemento.
L'elemento Acqua, è diviso dal Fuoco o dall'Aria e le sue particelle possono ricomporsi formando un elemento di Fuoco e due di Aria (qui c'è una coincidenza; la molecola dell'acqua H2O è formata da due atomi di idrogeno e da uno di ossigeno).
Le facce dell'icosaedro sono 20, quelle del tetraedro sono 4 e quelle dell'ottaedro sono 8 (20 = 4 + 8 + 8).
Un elemento di Aria dissolvendosi da origine a due elementi di Fuoco (fissione nucleare). Le facce dell'ottaedro sono 8, quelle del tetraedro sono 4 (8 = 4 + 4).
Due elementi di Fuoco possono ricomporsi in un solo elemento di Aria (fusione nucleare). Le facce del tetraedro sono 4, quelle dell'ottaedro sono 8 (4 + 4 = 8).
Da 2,5 elementi di Aria si può ottenere un solo elemento di Acqua. Le facce dell'ottaedro sono 8, quelle dell'icosaedro sono 20 (8 + 8 + 4 = 20).
Platone pensava che la struttura della materia fosse strettamente legata alla geometria tanto da enunciare la famosa massima:
Dio geometrizza sempre.
Oggi sappiamo che le proprietà chimiche e fisiche delle sostanze dipendono dalla loro struttura geometrica molecolare cioè, da come si dispongono nello spazio gli atomi che costituiscono la sostanza.