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Piani di simmetrie del cubo

Prendiamo un modello di cubo in cartoncino e tagliamolo con un piano parallelo a una coppia di facce opposte e passante per i punti medi degli spigoli delle altre facce. Il cubo risulta cosí diviso in due parallelepipedi.

Appoggiamo uno dei due parallelepipedi a uno specchio. Che cosa notiamo? Il parallelepipedo e la sua immagine virtuale riflessa nello specchio ricompongono l'intero cubo. Il piano che ha diviso il cubo in due parallelepipedi rappresenta quindi un piano di simmetria del cubo perchè rimanda il cubo in sè stesso mediante una riflessione.

Quanti piani di simmetria possiede il cubo? In altre parole, in quanti modi si può tagliare il cubo in due parti in modo che, appoggiando a uno specchio una delle due parti, si ricompone l'intero cubo? Nel cubo ci sono tre coppie di facce opposte e dunque ci sono tre piani di simmetria di questo tipo.

I tre piani di simmetria sono a due a due perpendicolari. Questi sono gli unici piani di simmetria del cubo? Tagliamo il cubo con un piano passante per le diagonali di due facce opposte. Il cubo risulta cosí diviso in due prismi.

Prendiamo uno dei due prismi e appoggiamolo a uno specchio. Che cosa notiamo? Il prisma e la sua immagine riflessa nello specchio ricompongono l'intero cubo. Il piano che ha diviso il cubo in due prismi rappresenta quindi un altro piano di simmetria del cubo perchè rimanda il cubo in sè stesso mediante una riflessione.

Quanti piani di simmetria di questo tipo ha il cubo? Per ogni coppia di facce opposte ci sono due piani di simmetria di questo tipo e dunque il cubo possiede sei piani di simmetria definiti dalle diagonali relative a una coppia di facce opposte.

Esistono altri piani di simmetria del cubo? Ad esempio, il piano che passa per i punti medi di sei spigoli del cubo e che genera una sezione esagonale regolare è un piano di simmetria? Il cubo risulta diviso in due poliedri.

Prendiamo uno dei due poliedri e appoggiamo la faccia esagonale a uno specchio. Che cosa notiamo? Il poliedro e la sua immagine riflessa nello specchio non ricompongono il cubo.

Il piano che genera una sezione esagonale regolare dunque non è un piano di simmetria del cubo. Qualsiasi altro piano diverso da quelli già visti non è un piano di simmetria del cubo. In conclusione il cubo possiede solo nove piani di simmetria; tre piani sono paralleli a due facce opposte e sei piani contengono due spigoli opposti. I nove piani di simmetria dividono la superficie del cubo in 48 triangoli congruenti (triangoli rettangoli isosceli) e l'intero cubo in 48 piramidi congruenti. Ogni piramide ha per base uno dei 48 triangoli rettangoli isosceli e per vertice il centro del cubo.

Osservando il modello si vede che queste piramidi hanno quattro vertici, uno in un vertice del cubo, un secondo nel punto medio di uno spigolo uscente da quel vertice, un terzo nel centro di una delle facce che ha per lato questo spigolo e il quarto nel centro del cubo.