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Modello di dodecaedro rombico

Come possiamo costruire un dodecaedro rombico? Le facce di questo poliedro sono 12 rombi congruenti. Quanto misurano le diagonali di ciascun rombo? Quanto misurano i lati del rombo? Osserviamo il modello in cui il composto regolare cubo-ottaedro è inscritto nel dodecaedro rombico. Che cosa notiamo?

Si può vedere il dodecaedro rombico come composto da sei piramidi, uguali fra loro, che hanno per base una faccia del cubo e per altezza la metà dell'altezza del cubo.

Se la lunghezza dello spigolo del cubo è l applicando il teorema di Pitagora otteniamo che l'apotema e lo spigolo laterale della piramide misurano rispettivamente . In altre parole, le diagonali di una faccia del dodecaedro rombico misurano rispettivamente l e l√2 e il lato del rombo misura . Queste misure rappresentano anche le rispettive lunghezze dello spigolo, della diagonale di una faccia e la metà della diagonale del cubo inscritto nel dodecaedro rombico. Ora, che abbiamo tutte le misure possiamo costruire con del cartoncino le sei piramidi che formano il dodecaedro rombico partendo dal loro sviluppo nel piano.

Incolliamo le basi delle piramidi su uno sviluppo piano di un cubo avente lo spigolo congruente allo spigolo di base di una delle sei piramidi.

Assemblando il cubo in modo che le piramidi siano esterne otteniamo il dodecaedro rombico.

Se assembliamo il cubo in modo che le piramidi siano interne possiamo verificare che il volume di una piramide è uguale a 1/6 del volume di un cubo avente la stessa base e altezza doppia di quella della piramide. Inoltre, possiamo anche verificare che il volume del dodecaedro rombico è il doppio del volume del cubo in esso inscritto. Anche l'area della superficie totale del dodecaedro rombico è il doppio di quella del cubo inscritto? Se l è lo spigolo del cubo inscritto allora l'area della superficie totale del dodecaedro rombico è 6√2⋅l² e quindi è √2 volte più grande di quella del cubo inscritto. Una volta costruito il modello in cartoncino del dodecaedro rombico possiamo tagliare 13 opportuni spigoli e stenderlo nel piano in modo da ottenere un suo possibile sviluppo.