Un viaggio dentro e fuori dal cubo

Poliedri duali

Se indichiamo con f, v, s rispettivamente il numero delle facce, dei vertici e degli spigoli possiamo riassumere le caratteristiche dei cinque poliedri regolari con la seguente tabella

Dalla tabella possiamo osservare che il cubo ha 6 facce, 8 vertici, 12 spigoli e l'ottaedro ha 8 facce, 6 vertici e 12 spigoli. Tra i due poliedri c'è uno scambio tra il numero delle facce e il numero dei vertici e viceversa, mentre il numero degli spigoli resta immutato. Possiamo anche pensare di sostituire il termine facce con vertici e viceversa in questo modo si passa da un poliedro all'altro. E' evidente che i due poliedri cubo e ottaedro, sono strettamente correlati. In che modo possiamo mettere in evidenza questo legame? Consideriamo il centro di ciascuna faccia di un cubo e immaginiamo di collegare tra loro questi centri delle facce consecutive. Che solido otteniamo?

un ottaedro regolare.

Ora, consideriamo il centro di ciascuna faccia di un ottaedro e immaginiamo di collegare tra loro questi centri delle facce consecutive. Che solido otteniamo?

un cubo. Questi due poliedri si dicono duali (uno è il duale dell'altro).

Sempre dalla tabella possiamo osservare che il numero delle facce del dodecaedro è uguale al numero dei vertici dell'icosaedro e il numero dei vertici del dodecaedro è uguale al numero delle facce dell'icosaedro. Inoltre, entrambi hanno lo stesso numero di spigoli. Questo vuol dire che il dodecaedro e l'icosaedro sono duali l'uno dell'altro.

Qual è il duale del tetraedro regolare? Il tetraedro regolare avendo 4 facce, 4 vertici e 6 spigoli è duale di se stesso cioè è autoduale. Infatti, i centri delle 4 facce del tetraedro regolare sono vertici di un altro tetraedro regolare.

Riassumendo i cinque solidi platonici hanno tutti un poliedro duale, che a sua volta è un solido platonico.