Un viaggio dentro e fuori dal cubo

Cubi in un dodecaedro regolare

Costruiamo con delle cannucce un dodecaedro regolare. Con un filo colorato mettiamo in evidenza, per ciascuna faccia pentagonale, una sola diagonale in modo che ogni vertice comune a tre facce sia comune anche a tre diagonali. Queste dodici diagonali formano lo scheletro di un poliedro inscritto nel dodecaedro. Di quale poliedro si tratta?

Di un cubo, perchè le dodici diagonali sono congruenti tra loro e sono a due a due ortogonali.

La figura precedente ci fa capire che un dodecaedro regolare può essere visto come un cubo sulle cui facce sono posizionati altrettanti "tetti". Ciascun tetto è costituiti da due triangoli e due trapezi.

Quanti cubi possiamo inscrivere in un dodecaedro? Un dodecaedro ha 12 facce e ogni faccia ha 5 diagonali per un totale di 60 diagonali tutti della stessa lunghezza. Possiamo allora inscrivere in un dodecaedro 5 cubi congruenti che si compenetrano. Dall'unione di questi 5 cubi si ottiene un solido composto regolare detto cinque cubi nel dodecaedro.

Quanti tetraedri regolari possiamo inscrivere in un dodecaedro regolare? Dieci tetraedri; due tetraedri per ogni cubo e i cubi inscritti nel dodecaedro sono cinque.