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Dodecaedro rombico

Consideriamo il poliedro composto ottenibile dall'unione di un cubo e di un ottaedro.

Nel poliedro composto regolare consideriamo gli spigoli (uno del cubo e l'altro dell'ottaedro) che si dimezzano ad angolo retto come se fossero le diagonali di un rombo e quindi tracciamo questi rombi. Che cosa otteniamo?

Questo solido si chiama dodecaedro rombico. Confrontiamo il numero delle facce (12), dei vertici (14) e degli spigoli (24) di questo poliedro con quello del cubottaedro (facce 14, vertici 12, spigoli 24). Che cosa possiamo notare? Nei due solidi il numero delle facce e dei vertici sono invertiti mentre è uguale il numero degli spigoli. Questo significa che i due poliedri sono duali.

Ogni poliedro archimedeo ha il suo poliedro duale. I 13 poliedri duali dei solidi archimedei sono detti solidi di Catalan in onore al matematico belga Eugene Catalan che per primo li ha descritti nel 1865. La relazione di dualità scambia il numero delle facce con il numero dei vertici e nei poliedri regolari questo scambio riproduce ancora un poliedro regolare (ad ogni poliedro regolare corrisponde un poliedro duale che è ancora regolare) perchè sia le facce sia gli angoloidi sono congruenti. Lo scambio tra il numero delle facce e il numero dei vertici applicato ai poliedri archimedei che cosa provoca? In altre parole, qual è la differenza tra un poliedro archimedeo e il suo duale? I poliedri archimedei hanno gli angoloidi congruenti ma le facce non sono congruenti (sono poligoni regolari ma non tutti dello stesso tipo) nei loro duali si ha, come prevedibile, uno scambio; le facce sono congruenti mentre gli angoloidi non sono congruenti. Nel dodecaedro rombico da 8 vertici partono 3 spigoli e da 6 vertici partono 4 spigoli e quindi abbiamo 8 angoloidi racchiusi da tre rombi e 6 angoloidi racchiusi da 4 rombi. Nei poliedri regolari e nei solidi archimedei le facce sono dei poligoni regolari mentre nei solidi di Catalan le facce non sono poligoni regolari. I poliedri regolari hanno sia una sfera circoscritta sia una sfera inscritta perchè hanno sia i vertici sia il centro delle facce equidistanti dal centro del poliedro. I poliedri archimedei hanno solo i vertici equidistanti dal centro del poliedro e quindi hanno solo la sfera circoscritta i loro duali hanno solo il centro delle facce equidistanti dal centro del poliedro e dunque hanno solo la sfera inscritta. Ad esempio la sfera circoscritta al cubottaedro è inscritta al suo poliedro duale il dodecaedro rombico.