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Cubo tronco

Consideriamo un vertice di un cubo e i tre spigoli che partono da questo vertice. Su ognuno di questi spigoli prendiamo il punto che dista dal vertice considerato 1/3 della lunghezza dello spigolo del cubo. Poi tronchiamo il vertice del cubo con un piano passante per questi tre punti. Otterremo, naturalmente come sezione piana del cubo, un triangolo equilatero avente il lato uguale ai √2/3 dello spigolo del cubo.

Tronchiamo anche gli altri sette vertici del cubo ripetendo la stessa procedura.

Otteniamo cosí un poliedro chiamato cubo tronco. Quante facce, vertici e spigoli ha il cubo tronco? Quale particolarità ha questo poliedro? Ha 14 facce ma non tutte dello stesso tipo (8 facce sono triangoli equilateri e 6 facce sono ottagoni regolari), 24 vertici e 36 spigoli. Questo poliedro ha tutti gli spigoli congruenti e le facce sono disposte nello stesso ordine attorno a ciascun vertice. I vertici di questo poliedro sono detti uniformi perchè non è possibile distinguere un vertice da un altro. Ogni vertice è comune a due ottagoni regolari e a un triangolo equilatero e quindi tutti gli angoloidi del cubo tronco sono congruenti tra loro. Gli angoloidi essendo racchiusi tra due ottagoni regolari e un triangolo equilatero misurano 330° (135°+135°+60°). Ecco uno dei possibili sviluppi del cubo tronco.

I poliedri convessi, come il cubo tronco, aventi per facce dei poligoni regolari di due o più tipi diversi, con le facce che presentano la stessa disposizione attorno a ogni vertice e con gli angoloidi tutti congruenti sono chiamati poliedri semiregolari o archimedei perchè furono studiati per la prima volta da Archimede.

Nato nel III secolo a.C. a Siracusa in Sicilia, Archimede è considerato il più grande scienziato dell'antichità. Oltre ad essere un matematico fu anche un astronomo, un ingegnere, un fisico e soprattutto un inventore di numerosi congegni. Inventò la vite senza fine, la carrucola mobile, la ruota dentata, la coclea ecc. Si deve a lui la teoria della leva e la famosa frase:

Datemi un punto d'appoggio e vi solleverò il mondo

Scoprí il principio della spinta idrostatica detto appunto principio di Archimede secondo il quale un corpo immerso in un fluido riceve una spinta verso l'alto pari al peso del fluido spostato. Fu il primo a dimostrare che l'area della superficie sferica è uguale a quattro volte quella del suo cerchio massimo e che il volume di una sfera è uguale ai due terzi del volume del cilindro equilatero circoscritto. Si occupò in modo sistematico e razionale della misura della circonferenza rispetto al diametro.

Esistono solo 13 tipi di poliedri archimedei. I più semplici si ottengono troncando i vertici dei cinque poliedri regolari con opportuni piani. Questi tagli sono realizzati utilizzando la stessa procedura che abbiamo effettuato per ottenere il cubo tronco.

Il tetraedro tronco ha 8 facce (4 facce sono triangoli equilateri e 4 facce sono esagoni regolari), 12 vertici e 18 spigoli. Ogni vertice è comune a due esagoni regolari e a un triangolo equilatero e dunque ogni angoloide misura 300° (120°+120°+60°).

L'ottaedro tronco ha 14 facce (6 facce sono quadrati e 8 facce sono esagoni regolari), 24 vertici e 36 spigoli. Ogni vertice è comune a due esagoni regolari e a un quadrato e dunque ogni angoloide misura 330° (120°+120°+90°).

Il dodecaedro tronco ha 32 facce (20 facce sono triangoli equilateri e 12 facce sono dodecagoni regolari), 60 vertici e 90 spigoli. Ogni vertice è comune a due dodecagoni regolari e a un triangolo equilatero e dunque ogni angoloide misura 348° (144°+144°+60°).

L'icosaedro tronco ha 32 facce (20 facce sono esagoni regolari e 12 facce sono pentagoni regolari), 60 vertici e 90 spigoli. Ogni vertice è comune a due esagoni regolari e a un pentagono regolare e dunque ogni angoloide misura 348° (120°+120°+108°).

Il piò famoso di questi poliedri archimedei è l'icosaedro tronco. Il pallone utilizzato nel gioco del calcio non è una sfera perfetta ma è semplicemente un icosaedro tronco gonfiato.

Perchè questo poliedro archimedeo è stato scelto per costruire i palloni da calcio e quindi per simulare una sfera? Costruire una sfera di cuoio è impossibile perchè una sfera non è sviluppabile nel piano. Non c'è modo di distendere una superficie sferica nel piano anche se la suddividiamo in piccole regioni di superficie. Possiamo renderci conto di ciò con un semplice esperimento. Prendiamo una palla di gomma e tagliamola lungo la circonferenza massima. Otteniamo cosí una superficie semisferica. Poi cerchiamo di distendere tale superficie sul piano suddividendola in un certo numero di regioni (semifusi). Che cosa osserviamo?

Ogni regione per quanto piccola, mantiene la sua curvatura e quindi non riusciamo a distenderla completamente nel piano. Se cerchiamo di distendere la superficie di una sfera nel piano, si creano necessariamente delle fessure in quanto c'è meno superficie di quanta ne serva per essere appiattita. Per realizzare un pallore è quindi più semplice costruire un poliedro che si avvicini alla forma sferica e l'icosaedro tronco approssima molto bene una sfera. Il volume dell'icosaedro tronco è circa l'87% di quello della sfera circoscritta e quando viene gonfiato le facce si curvano e il suo volume è circa il 96% di quello della sfera. Ecco un possibile sviluppo dell'icosaedro tronco.

In realtè esiste un altro poliedro archimedeo che potrebbe sostituire l'icosaedro tronco per simulare agevolmente una sfera. E' il rombicosidodecaedro che, senza essere gonfiato, ha il volume pari al 94,32% di quello della sfera circoscritta e dunque approssima meglio una sfera.

Questo poliedro ha ben 62 facce, 20 facce sono triangoli equilateri, 30 facce sono quadrati e 12 facce sono pentagoni regolari, ha inoltre 60 vertici e 120 spigoli. Ogni vertice è comune a due quadrati a un pentagono regolare e a un triangolo equilatero e dunque ogni angoloide misura 348° (90°+90°+108°+60°).

Perchè non viene utilizzato questo poliedro per costruire i palloni da calcio? Per costruire il poliedro occorrono 62 pezzi di cuoio (20 triangoli, 30 quadrati e 12 pentagoni) che devono essere cuciti assieme. I lati dei poligoni sono in tutto 12⋅5+30⋅4+20⋅3=240. Ora, ogni cucitura unisce due lati e quindi le cuciture da effettuare sono in realtà 240 : 2 = 120. Sono troppe rispetto a quelle che occorrono per costruire un icosaedro tronco. Nell'icosaedro tronco i pezzi sono 32 (12 pentagoni, 20 esagoni) e le cuciture sono in tutto 90. In conclusione il rombicosidodecaedro gonfiato, rispetto all'icosaedro tronco gonfiato, approssima meglio una sfera ma è più difficile da costruire ed è più costoso.