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Il cubo Soma

Disegniamo un quadrato e dividiamolo in sette parti: cinque triangoli rettangoli isosceli, un quadrato più piccolo e un parallelogramma come si vede in figura.

Ritagliamo poi i sette pezzi. Quante figure equiestese possiamo costruire utilizzando i sette pezzi senza sovrapposizioni? Moltissime. Un antichissimo e famoso gioco cinese noto con il nome Tangram è costituito proprio da questi sette pezzi. In questo gioco ogni figura rappresenta un rompicapo per chi deve riprodurla senza conoscere la disposizione dei pezzi. Ad esempio, come dobbiamo disporre i sette pezzi per ottenere le due immagini?

La possibilità di ottenere un cosí gran numero di figure dipende dalle particolari forme e dimensione dei pezzi. I lati di questi pezzi hanno lunghezze che possono combaciare tra loro in vari modi. Ciò è evidente se consideriamo che i sette pezzi del tangram possono essere ottenuti partendo da 16 triangoli rettangoli isosceli congruenti come si vede in figura.

Inoltre un solo pezzo, il parallelogramma, non ha un asse di simmetria e quindi non è simmetrico, tutti gli altri pezzi essendo simmetrici possono essere spostati sul piano senza la necessità di sollevarli e ribaltarli.

Esiste un gioco corrispondente al tangram in tre dimensioni? Cioè è possibile dividere un cubo in sette pezzi e con questi pezzi comporre figure solide equivalenti? Lo scrittore danese e inventore di giochi matematici Piet Hein ha ideato nel 1936 il gioco noto con il nome cubo Soma costituito da sette pezzi tridimensionali. Di questi sette pezzi uno è costituito da 3 cubetti e gli altri da 4 cubetti, uniti tra loro per una faccia in modo da formare i sette solidi concavi qui riportati.

Il quinto e il sesto pezzo sono identici? No, non sono uguali, pur essendo simmetrici rispetto a un piano non sono sovrapponibili.

Per convincersene c'è un unico modo: costruirli e provare a muoverli. La cosa ci sorprende: i due solidi hanno spigoli corrispondenti congruenti, angoloidi corrispondenti congruenti, facce corrispondenti congruenti eppure non sono congruenti. Costruiamo allora questi sette pezzi procurandoci un listello di legno a base quadrata. E' proprio necessario tagliare 27 cubetti? No, possiamo semplificare il lavoro tagliando pezzi da 1, da 2 e da 3 cubetti.

E incollarli opportunamente in questo modo:

Come possiamo vedere per costruire i sette pezzi occorrono 4 pezzi da 1 cubetto, 10 pezzi da 2 cubetti e 1 pezzo da 3 cubetti.

I sette pezzi del cubo Soma contengono in totale 27 cubetti (4 X 6 + 3 = 27) e possono essere assemblati in modo da formare un cubo 3 x 3 x 3 cubetti. Per comporre il cubo 3 x 3 x 3 come bisogna procedere? Esiste un solo modo? I matematici J.H. Conway e M. J. T. Guy nel 1961 stabilirono che esistono ben 240 modi diversi di ricomporre il cubo 3 x 3 x 3, escludendo simmetrie e rotazioni. Ecco una possibile soluzione: assembliamo in successione i pezzi 3, 6, 7, 4, 2, 5, 1 come è rappresentato nella figura.

Come per il tangram, con i sette pezzi del cubo Soma si possono costruire, con un pò di immaginazione e di creatività migliaia di figure solide curiose. Si possono immaginare delle forme solide costituite da 27 cubetti e cercare di realizzarle. In questo caso bisogna tener presente che non tutte le forme che possiamo immaginare sono poi realizzabili. Il cubo Soma rappresenta perciò un semplice gioco con il quale è possibile sviluppare le nostre abilità geometriche tridimensionali. Ecco alcune di queste forme utilizzando i sette pezzi con i seguenti colori.